中学数学

横、縦の長さがそれぞれ1cm、2cmである長方形の白いタイルを、平面上にかさらないように隙間なく同じ向きにしきつめて長方形をつくる。このとき次の問いに答えよ
このタイルが180枚ある180枚のタイルを全て用いて長方形をつくったしきつめたタイルのうち4つの辺がどれも他のタイルと接しているタイルを全て黒く塗りつぶしたところ塗りつぶした部分の図形が正方形になったこのとき黒く塗られていないタイルの枚数を求めよ
教えてください宜しくお願いします

No.1 回答者： 白水2015 回答日時： 2016/03/28 17:48

２×１８０＝３６０

高さ３６０幅１８０
１８０＝１８０正方形
３６０－１８０＝１８０

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2016/04/03 15:17

No.2 ベストアンサー 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2016/03/28 18:01

少ない数でまず考える。

1cm×2cmなので、すぐ思いつくのが、□□と考えることですね。
□□□□□□
□□■■□□
□□■■□□
□□□□□□
左右は、1cmずつ長いはずなので、一つのタイルを2枚と考えると、360枚を並べたことになる。
黒い正方形の一辺をxcmとすると、タイルの枚数は
(x + 4)(x + 2) / 2 = 180
(x + 4)(x + 2) = 360
x² + 6x + 8 = 360
x² + 6x - 354 = 0
(x - 16)(x + 22)=0
x = -22 の除かれるので、x = 16

□□□□　　　 □□
□□■←16→■□□
□□↑　　　 ■□□
□□16　　　■□□
□□↓　　　 ■□□
□□■■　　 ■□□
□□□□　　 □□□

よって横は、(16/2)*2 = 16
　　　縦は、 16*2 = 32
四隅の4枚を加えて、16+32+4= 52 枚

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□
□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□
□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□
□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□
□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□
□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□
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□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□
□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□
□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□
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□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□
□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□
□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□
□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□
□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□
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まず、数を減らして規則性を見つける。
そしたら、それを式にしてみる。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2016/04/03 15:18

No.3 回答者： 銀鱗 回答日時： 2016/03/28 19:08

どういう状態にあるかをイメージする。

この場合、左右どちらかの縦一列を除くと正方形になることは分かるだろう。
この条件で式を考えてみる。
縦方向の数をｎとすると
180-ｎ
が、塗りつぶされていないタイルと、黒く塗りつぶされたタイルでできた正方形に並んだタイルの数。
面積は
(180-n)×2
または
ｎ×(n÷2)
すると
(180-n)×2=ｎ×(n÷2)
と定義することができる。
あとはｎについて計算すれば、縦に並んだタイルの数になる。

もうあとは簡単だろう。
(ｎ÷2)が白いタイルを含んだ正方形の横の長さだ。
ｎ+(ｎ÷2)+(ｎ÷2）
これは2箇所で重複するので
ｎ+(ｎ÷2)+(ｎ÷2）-2
さらに縦一列分を含めて
ｎ+ｎ+(ｎ÷2)+(ｎ÷2）-2
これが黒く塗られなかったタイルの数。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2016/04/03 15:18

No.4 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2016/03/29 10:03

No.2です。

「横、縦の長さがそれぞれ1cm、2cmである長方形の白いタイルを、平面上にかさらないように隙間なく同じ向きにしきつめて長方形をつくる。このとき次の問いに答えよ
このタイルが180枚ある180枚のタイルを全て用いて長方形をつくったしきつめたタイルのうち4つの辺がどれも他のタイルと接しているタイルを全て黒く塗りつぶしたところ塗りつぶした部分の図形が正方形になった」
　このわかりにくい長い文章を数式という簡単明瞭な言葉に置き換える。
＞4つの辺がどれも他のタイルと接しているタイル
　逆に言うと外辺に接しているタイル以外
＞塗りつぶした部分の図形が正方形
　外辺のタイルを除くと正方形
　よって、正方形と外辺タイルを加えると180枚
＞横、縦の長さがそれぞれ1cm、2cm
　1cm角のタイル二個と同じなので1cm角のタイルと考えると
　1cm角のタイルの枚数だと360枚・・全体の面積は360cm²
　正方形の一辺をxcmとすると、タイルの枚数は
x² + 2x + 4x + 8 = 360
↑　　↑　　↑　　↑
｜　　｜　　｜　縁の４枚
｜　　｜　　縦辺の列
｜　上下の列
正方形
　として直接立式してもよい。

いずれにしても、文章や会話から状況を読み取る言語能力が問われている。立式さえできたら後は計算問題よりも簡単な計算だし、配点も高い。