線形代数の空間ベクトル 基底、dimV、次元がわかりません この問題解説お願いします。

線形代数の空間ベクトル
基底、dimV、次元がわかりません
この問題解説お願いします。

No.3 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/06/02 19:57

(1) dim V ≦ 2 であり, a_1 と a_2 は線型独立.

よって, a_3 と a_4 を見ずに dim V = 2 と分かる.

(2) a_1 と a_2 は線型独立で, a_3 = a_1 + a_2 と a_4 = a_1 + 2(a_2) は目で導ける.
よって, {a_1, a_2} は V の基底であり, dim V = 2 が得られる.

(1), (2) の両方で,
V = <a_1, a_2> = <a_1, a_2, a_3> = <a_1, a_2, a_4> = <a_1, a_2, a_3, a_4>
が成り立つことに注目.
a_3, a_4 は, ともに a_1, a_2 の線型結合で表せるので, それらを生成系に加えても, V は大きくなりません.

(3) a_1 と a_2 は線型独立.
a_3 が a_1 と a_2 の線型結合で表せるなら, a_1, a_2, a_3 の 第 1 成分と第 2 成分に着目すると,
a_3 = (-1)(a_1) + (-2)(a_2) となるはずだが, それだと, 第 3 成分と第 4 成分で計算が合わない.
よって, a_1, a_2, a_3 は線型独立.
次に, a_4 が a_1, a_2, a_3 の線型結合で表せるなら, a_1, a_3, a_4 の第 1 成分に着目すると,
a_4 = s(a_1) + t(a_2) + (s - 1)(a_3) という形になるはずである.
さらに, a_2, a_3, a_4 の第 2 成分に着目すると, t = 2s - 3 が成り立つはずだが,
それだと, 右辺の第 3 成分 = 4s - 7, 第 4 成分 = 4s - 3 となり, 両者は等しくならない.
よって, a_1, a_2, a_3, a_4 は線型独立で, dim V = 4 と結論できる.

貴方が将来, 環論を学ぶ人であれば, 環上の加群は必ず扱います.
線型空間の勉強をサボってしまうと, そのときに後悔するので, 今のうちに遅れを取り戻してください.
質問があれば, 何でも遠慮なくどうぞ.

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/06/01 02:15

次元は (1)2、(2)2、(3)4

基本変形で階段化というのが定石。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/31 23:25

(1)2、(2)2、(3)4

ですね。基本変形で階段化するだけ。