次の問題を教えてください。
実数aに対して、方程式cos2x-sinx=a (0°=<Θ>360°)
の解が4個存在するときのaの範囲を求めよ。
また3個存在するときのaの値を求めよ。
です。 よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

すべては回答せずに、ヒントを中心に書きます。



まずは方程式を変形しましょう。
cos2xとありますから、加法定理を使って2xをxに置き換えます。
そして、最終的にsinxだけの式にします。
sinxの二次方程式になるので、sinx=t と置き換えます。
(もちろん-1=<t=<1)

この結果、与式=-2t^2 -t +1 =a となるはずです。
与式=f(t) として、f(t)のとり得る値の範囲を求めます。

f(t)のグラフは、上に凸で頂点の座標(1/4,9/8)となり、
aの値で場合分けをして、それぞれの解の個数を調べます。

答えは、解が4個のとき  0<a<9/8
    解が3個のとき  a=0
となります。

いかがでしたか?これを元に頑張ってみてください。
数学はパターンを覚えれば大体の問題は解けるようになります。
そうなるまで、何回もいろいろな問題に挑戦し、
ぜひ数学が得意科目になるようにしてください。
また質問があれば遠慮なく訊いてくださいね。

この回答への補足

お礼とご報告です。おかげさまで解く事が出来ました。
最初解が4個と3個って何?って感じだったんですけど、
そうだそうだsinxなんだから、解が三個とか4個出てくるんだと
納得していました。
相変わらず気づくまでが遅い私です。
ところで、頂点の座標って(-1/4,8/9)ですよね。
あまり差し障りのないところなんですが・・・
とにかく、わかりやすい回答と優しいお言葉本当にありがとうございました。
頑張ろうって気になりました。
また、いろいろと質問すると思うのでその時はよろしくお願いします。

補足日時:2001/06/25 22:49
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この回答へのお礼

優しいお言葉ありがとうございます。数学は苦手で少し落ち込んでいたのですが、やる気が出ました。申し訳ないのですがまだ他の問題をやっている途中なので手がつけられていません。出来次第ご報告します。

お礼日時:2001/06/23 14:00

ごめんなさい。

nagaiminekoさんの答が正しいです。

寝ボケてました・・・
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この回答へのお礼

ご報告とお礼です。
遅くなってすみません。やっと解けました。
眠い中解いていただきありがとうございました。

お礼日時:2001/06/25 23:01

cos2x=1-2(sinx)^2 より、sinx=t とおくと、


y=-2t^2-sinx+1
y=-2(t+1/4)^2+9/8

t=-1のとき y=0
t=1のとき y=-2

-1≦t≦1 でこの放物線をかく。
また、t=±1に対応するxの値は1つ、
-1<t<1のとき、t=sinxとなるxの値は2つずつ存在することに注意すると、
-2<a,a<9/8 のとき、方程式の解は0個
a=-2のとき1個
-2<a<-1,a=9/8 のとき2個
a=-1 のとき3個 (t=-1側で1個、他で2個)
-1<a<9/8 のとき、4個

以上です。放物線上をt=0から始まって、最初はt=1の方向に、
折り返してt=-1まで戻り、再びt=0に戻ってくる点移動を考えれば、
きっとわかります。

この方法が納得いかなかったら、数(3)の微分法に走るんですが・・・
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この回答へのお礼

眠たいところをすみませんでした。まだ、他の問題をやっていて手がつけられていないのですが、出来次第ご報告します。

お礼日時:2001/06/23 13:57

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