純粋交換経済の計算問題の考え方

純粋交換経済の計算問題を解いてみたのですが、あっているかわかりません。間違いを教えてください。また、全くわからなかったところもあるので考え方を教えていただけると助かります。

消費者が２人およびｘ財およびｙ財の２財が存在する純粋交換経済を想定する。消費者Aの初期賦存は Xa=1, Ya=9、消費者Bの初期賦存は , Xb=9, Yb=1で与えられています。また、それぞれの消費者の効用関数を Ua=XaYa、Ｕｂ＝ＸｂＹｂ、 とするとき、以下の問いに答えよ。
という設定です。

1．競争的市場でx財およびｙ財の取引が行われるときの均衡相対価格および限界代替率を求めよ。

財市場の均衡は　Xa+Xb=10, Ya+Yb=10
それぞれUaとＵbの効用最大化を考える。Uaの制約がPxXa+PyYa=Px+9PyでＵｂも同様。
MRSa、MRSbとの連立方程式をそれぞれ解いて、Py/Px=1
限界代替率はそれぞれMRSに代入。

2. パレート最適の集合（直線あるいは曲線）を求めよ。
ＭＲＳa=MRSb　より、Ya/Xa=Yb/Xb で、初期賦存を代入してXa=Yaより　X=Y。

3. 両者の需要曲線とオファー曲線を求めよ。
限界代替率＝価格比でYa/Xa=Px/Py 、Yb/Xb=Px/Py、制約PxXa+PyYa=Px+9Py、PxXb+PyYb=9Px+Py かと思ったのですが、
どうすればよいかわかりませんでした。

4.　効用フロンティアを求めよ。
参考書からはＭＲＳa=MRSb　より、Ya/Xa=Yb/Xb で、初期賦存を代入するというように読み取れたのですが、これでは問題2と同じになってしまう気がします。
どうやって求めればよいのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/07/03 14:24

>

均衡でのXa,Yaをそれぞれ求めて代入すると具体的な値　Xa=5, Ya=5と具体的な値が出てきてMRS=1 になるということでよいのでしょうか。

問題が何を求めているかによるでしょう。あなたが計算したのは、均衡における、主体aのMRSの値です。主体aの限界代替率とは、無差別曲線の傾きの値なので、無差別曲線上のどの点（消費の組）にあるかによって値が異なる。同じことは、たとえば、需要の価格弾力性を求めよという問題についてもいえる。たぶん「取引が行われるときの」という形容が問題についているので、「均衡」におけるという意味でしょう。ですから、あなたの解答でよいのでしょう。

最後の問の効用フロンティアですが、効用フロンティアとは、パレート最適配分の集合をUa-Ub平面に表わしたものです。
Ua=XaYa
Ub=XbYb
Xa+Xb=100
Ya+Yb=100
そして契約曲線（パレート最適集合）は
Ya=Xa (*)
であるから、(*)を上の式に代入すると
Ua=XaYb=(Xa)^2 (**)
Ub=XbYb = (100-Xa)(100-Ya) = (100- Xa)^2 (***)
(**)より　Xa＝√Ua
これを(***)の右辺に代入すると
Ub = (100 - √Ua)^2
を得る。これがこの経済の効用フロンティアということになる。Ua-Ub平面において非線形の右下がりの曲線であることがわかる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。まったくのゼロからの勉強で大変でしたがわかってきました。
確認なのですが、財市場の均衡はXa+Xb=10, Ya+Yb=10で　Ub= (10-√Ua）^2でよいでしょうか？

お礼日時：2016/07/03 14:37

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/07/03 15:46

＞ 確認なのですが、財市場の均衡はXa+Xb=10, Ya+Yb=10で　Ub= (10-√Ua）^2でよいでしょうか？

その通りです。うっかり、０を１つ多くつけてしまったようです。

この回答へのお礼

わかりました。本当にありがとうございました。

お礼日時：2016/07/03 23:14

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/07/03 09:57

＞1．競争的市場でx財およびｙ財の取引が行われるときの均衡相対価格および限界代替率を求めよ。

⇒
いろいろ求め方はあるが、オーソドックスには財Xにたいする主体aとｂの需要関数をもとめ、Xa+Xb=10を用いる。答えはあなたの得たPx/Py=1で正しい。均衡ではMRS=Px/Pyとなるので、均衡におけるMRS＝１だが、MRSとは主体a（あるいはｂ）の無差別曲線の傾きだから、
主体aのMRS＝Ya/Xaとなるでしょう。

＞2. パレート最適の集合（直線あるいは曲線）を求めよ。
ＭＲＳa=MRSb　より、Ya/Xa=Yb/Xb で、初期賦存を代入してXa=Yaより　X=Y。

パレート最適の集合は契約曲線のことだから、あなたが求めたようにエッジワースボックス内の直線
　Y=X
で表わされる。初期賦存量はとくに関係ない。関係あるとすればボックス内になければならないので、
　Y=X　　０≦X≦10
と書くのが正確。

3. 両者の需要曲線とオファー曲線を求めよ。
限界代替率＝価格比でYa/Xa=Px/Py 、Yb/Xb=Px/Py、制約PxXa+PyYa=Px+9Py、PxXb+PyYb=9Px+Py かと思ったのですが、
どうすればよいかわかりませんでした。

オッファー曲線とは、無差別曲線と予算線の、相対価格を変化させたときの接線の軌跡を示したものだから、
MRS=Px/Py　⇒　Ya/Xa = Px/Py
予算線PxXa + PyYa = Px + 9Py 　⇒　(Px/Py)Xa + Ya = Px/Py + 9
より、上の式を下の式に代入し、Px/Pyを消去することで求められる。
(Ya/Xa)Xa + Ya = Ya/Xa + 9
よって
2Ya = Ya/Xa + 9
(2 - 1/Xa)Ya = 9
すなわち、
Ya = 9/(2 - 1/Xa)
となる。これが、Xa-Ya平面に描いた主体aのオッファー曲線だ。


4.　効用フロンティアを求めよ。
時間がないので、のちほど説明する。以上について追加質問を考えてくおいてください。



































































































この回答へのお礼

回答ありがとうございます。1つ質問を追加させていただきます。
＞MRSとは主体a（あるいはｂ）の無差別曲線の傾きだから、主体aのMRS＝Ya/Xaとなるでしょう。
均衡でのXa,Yaをそれぞれ求めて代入すると具体的な値　Xa=5, Ya=5と具体的な値が出てきてMRS=1 になるということでよいのでしょうか。

お礼日時：2016/07/03 10:55