微分演算子について

微分方程式を解くときに微分演算子法が使えることの証明を教えてください。

質問者からの補足コメント

• 微分方程式を解く際に形式的に因数分解したり微分多項式で何かを割ったりする操作のことです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/08/30 01:59

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/08/29 23:49

「微分演算子法が使える」とは, 具体的にはどのようなことを指しているのかな?

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/08/30 12:07

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97 …
に丸投げしてもいいんだけどと思いつつ.

1変数多項式が因数分解できることを既知とするなら, 前者は
・微分方程式を「微分多項式」で表現できる
・「微分多項式」の集合が 1変数多項式の集合と環として同型である
の 2つを示せばよく, 上は「微分多項式」の定義から自明なはず. 後者もほぼ自明 (だがいちいちやるとただ面倒).

後者についてはそもそも「微分多項式で何かを割ったりする」という操作をどうとらえるかという問題があって, 単純に形式的な操作と考えればできて当然. その「結果」を得るところまで考えるなら, 「微分多項式で何かを割ったりする操作」の「結果」を定義しなければならないが, おそらくこっちもその定義から自明だと思う.