板が倒れる速度と時間を計算で求めたいです。

板が倒れる速度と時間を計算で求めたいです。
板を立てた状態で、下端を回転中心として90度倒した時(時計の針で言うと12時から3時まで倒した時)の角速度と倒れきるまでの時間を計算で求めたいです。

パラメータを以下とします。
m:板の質量(kg)
h:板の回転中心から重心までの距離(m)
θ:板を90度立てた状態から倒れた角度
I:板の重心、回転中心周りのイナーシャの和
ω:板の角速度(rad/s)

板の自重のみで倒れる場合の計算式は以下になると思います。
mgh=mghcosθ+Iω^2/2

お聞きしたいのは、板が倒れるのを妨げる力が働く時の計算式です。
F:板の回転方向と常に逆向きに掛かる力(N)
L:板の回転中心から上記Fが作用する点までの距離

この力が働く時の、以下2点を計算で求めたいです。
①板が90度倒れるまでの時間
②90度の時の角速度

よろしくお願い申し上げます。

質問者からの補足コメント

• F:板の回転方向と常に逆向きに掛かる力(N)
  この力は板の回転中心から距離Lの点に作用する摩擦力です。
  力の方向は常に、板が回転していく接線方向と逆方向に作用します。
  且つ、板の回転中心とLを結んだ線と直角に作用します。

    補足日時：2016/09/05 00:04

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/05 00:58

No.1です。

No.1の「お礼」を見落としていました。

＞① ω = √｛2mgh(1-cosθ)/I｝
＞② dω/dt = mghsinθ/I
＞
＞この２つの式から、板が各角度に位置する時の角速度、角加速度が分かるので、
＞「時間」の計算式が立てられるかもと思ったのですが、
＞イマイチ計算方法が思い浮かびませんでした。

No.1にも書いてあるように、　
　ω = dθ/dt
ですから、θ に関する微分方程式になりますから、それを解けばよいだけです。

① dθ/dt = √｛2mgh(1-cosθ)/I｝
② d^2θ/dt^2 = mghsinθ/I

ただし、簡単には解けません。数値解なら求まると思いますが。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
mgh=mghcosθ+Iω^2/2
この式に、損失するエネルギー分を追加したかったのですが、難しい様ですね。

お礼日時：2016/09/05 07:29

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/05 00:50

No.1です。

「補足」に書かれた「外力」について。

＞F:板の回転方向と常に逆向きに掛かる力(N)
この力は板の回転中心から距離Lの点に作用する摩擦力です。
力の方向は常に、板が回転していく接線方向と逆方向に作用します。
且つ、板の回転中心とLを結んだ線と直角に作用します。

力の大きさは、板のどの「回転中心からの距離」についても均一と考えてよいのですか？
周速度に比例するとか、そういう条件はないのですか？

　「均一」であれば、板全体に働く力を F とすると、単位長さあたりの「力密度」は F/2h、従って回転中心からの距離 R ～ R+dR の微小部分に働く力は
　　(F/2h)*dR
この微小部分の力のモーメントは
　　dN = R*(F/2h)*dR
従って、板全体のモーメントは
　　N = ∫[0~2h](F/2h)*RdR = (F/2h)[R^2/2][0~2h] = Fh
（重心の定義から、結局は「重心に力全体がかかる」のと同じ結果）

　従って、運動方程式は
　　mgh*sinθ - Fh = I*d^2θ/dt^2
（この場合の板の慣性モーメントは I = (1/3)mh^2）

　ちなみに、摩擦力相当の上記の力では、「エネルギー保存」はしないので、転倒角90°のときの角速度も、要する時間も、上記の運動方程式から求めるしかありません。

　「エネルギー保存」が成り立てば、途中経過は度外視して、「初期条件」と「最終条件」で「角速度」は求まりますが、時間は「時々刻々の途中経過」の積み重ねなので、「初期条件」と「最終条件」だけからは求まりません。
　非保存の外力が働く場合には、「角速度」も「時間」も、「初期条件」と「最終条件」だけからは求まりません。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/04 23:29

＞板の自重のみで倒れる場合の計算式は以下になると思います。

＞mgh=mghcosθ+Iω^2/2

これは「エネルギー保存」から求める式ですね。

ω=dθ/dt ですから、
　mgh=mghcosθ+(1/2)I(dθ/dt)^2
でよいのですが、これから θ の一般解をまともに解くのはちょっと無理。

　90度倒れたときのピンポイントの角速度だけなら、最初から θ=90° として
　　mgh = (1/2)Iω^2
で、板の慣性モーメント
　　I = (1/3)mh^2
を使えばよいです。
　ω^2 = 2mgh/I = 2mgh/[ (1/3)mh^2 ] = 6g/h
から
　ω = √(6g/h)
が得られます。

　時間は、きちんと「運動方程式」を立てないと求まらないでしょう。力のモーメントから
　　mgh*sinθ = I*dω/dt = I*d^2θ/dt^2　　　（１）
これも、まともに解くのはちょっと面倒なのでパスします。


＞お聞きしたいのは、板が倒れるのを妨げる力が働く時の計算式です。

　これは、何の力なのかによって、方向と大きさを明確にしないといけません。「空気の抵抗」とか「支点の摩擦」とか「壁からバネで引っ張っている」とか。
　その力を、（１）の運動方程式の左辺（上の式では重力のみ）に追加すればよいです。
　その場合には、保存力でなければ「エネルギー保存」も使えないので、運動方程式をきちんと解く必要があり、角速度の方も簡単には求まりません。まして、「時間」はさらに難しい・・・。

　なお、今は「支点は動かない」という条件で、支点回りの回転運動だけを考えていますが、働く力の条件によっては、「支点の移動」も起こりうるので、「重心の並進運動」と「重心周りの回転運動」の両方を考えないといけないことになり、さらに複雑になります。

　私に回答できるのはこの辺までです。

この回答へのお礼

ご回答頂きありがとうございます。
① ω = √｛2mgh(1-cosθ)/I｝
② dω/dt = mghsinθ/I

この２つの式から、板が各角度に位置する時の角速度、角加速度が分かるので、
「時間」の計算式が立てられるかもと思ったのですが、
イマイチ計算方法が思い浮かびませんでした。

θ(rad)=a(rad/s^2)*t(s)^2/2
この式を②と合わせて時間 t を求めようかとも考えたのですが、
等加速度運動ではないため、これも違うよなと悩んでいます。

お礼日時：2016/09/05 00:24