針が倒れる時間

Question

高校か大学の物理で、針を机の上に垂直に立てて手を離してから倒れ終わるまでの時間を求める式を習ったような気がするのですが、何だったでしょうか。
昔のことなので、とっくに教科書や参考書を処分してしまい、何の分野だったかも忘れてしまいました。
今、学生あるいは先生で詳しい方、教えて頂けませんか。
当時、一生懸命に勉強したことでも、社会人になって使わなくなると忘れますね。かつて覚えたのに、何かもったいない気がします。

abyssinian · Accepted Answer

なんだかなあ‥
えーと、質問者さんとNO4さん、残念だけどこれは解析解が無いことで有名な問題なんです。

　針の端が支点で、針が垂直に下まで動けると考えれば、これは普通の振り子の問題で、ただ角度の初期値が180度近くから始まって、水平になるまでの時間を求めるだけの問題なんです。
普通、振り子の角度θは、まっすぐ下に垂れ下がった位置から計るのが普通です。
振り子のニュートンの運動方程式は、
(1)　d^2θ/dt^2 = -(g/L)sinθ
です。gは重力加速度。Lは重心と支点の距離。
定石に従って
(2)　g/L=ω^2
と置くと
(3)　d^2θ/dt^2＋ω^2sinθ= 0

θが小さく、線形近似
(4)　sinθ≒θ
が成立するならば
(5)　d^2θ/dt^2＋ω^2θ= 0
となり、これは簡単に解けて、解は単振動の
(6)　θ=Csinωt
です。Cは小さな初期値。サイン関数だから周期はωt=2πより
　τ=2π√(L/g)

しかし、設問はθが180度に近いので、sinθ≒θの近似は成り立たず、(1)は解析解を持たない、楕円積分なのです。（第一種楕円積分）。
そこで(1)式を、数学の本にある楕円積分の標準形にするためには、両辺にdθ/dtを掛ければ積分できて、
　(dθ/dt)^2 = 2ω^2cosθ+積分定数
積分定数を決めるために初期条件、θ=α、dθ/dt=0を上式に入れれば
　(dθ/dt)^2 = 2ω^2（cosθ-cosα）
となり、三角公式
　cosθ-cosα=2｛sin^2(α/2)-sin^2(θ/2)｝
によって、
(7)　dx/√(1-k^2sinx) = ωdt
となる。ここにk=sin(α/2)、x=θ/2です。左辺が数学の本にある形です。

積分区間は、初期値θ=α>90度から、針が水平(θ=90度)まで。本に数表が載ってますが、僕はBASICで書いて計算した記憶があります。
左辺の積分値をＫとすれば、右辺の積分はωtだから、
　水平までの時間t = Ｋ/ω= Ｋ√(L/g)
となります。


>当時、一生懸命に勉強したことでも、社会人になって使わなくなると忘れますね。かつて覚えたのに、何かもったいない気がします。

　解析解が無いのだから、忘れたのではなく、記憶に無いのが当然だとおもいますね。
僕はまだ社会人じゃないですけど、僕も未来でこの結果を使うことは無いのでしょうね。

Dicynodon · Answer

#6の途中までで#5の式を求め，そこから更に一歩すすめて，時間を表す式を出したということです．

#7の(2)式は既に近似を使っていることに注意してください．
（単振動への近似はできませんから，#7のωは無意味です．）

#6の積分はおそらく計算できませんが，dθを微小なΔθに変えて，プログラムを組んでやれば，近似値を求めることは可能です．

Dicynodon · Answer

一応最初傾いている場合の時間を求める式を求めてみます．

針は長さl（エル）単位長さの質量ρの一様な棒として
ｔ秒後の垂直からの傾きをθ，角速度を ω
t=0のときのθを φ とします

エネルギー保存則から
（左辺）＝運動エネルギー
（右辺）＝失われた位置エネルギーとおいて

∫(0~l){ρ(r^2*ω^2)}dr=(ρl)g(1/2)l(cosφ-cosθ)　[(0~l)は積分範囲]

ゆえに

ω={(3g/l)(cosφ-cosθ)}^(1/2)

ω=dθ/dt であるから dt=(1/ω)dθ となり

t=∫(φ~θ){(3g/l)(cosφ-cosθ)}^(-1/2)dθ

ここでθにπ/2を代入すればOKです．

Dicynodon · Answer

θ→0の極限では無限になります。
おそらく質問者のご記憶にあるのは，地面に届くときの角速度ではないでしょうか？
運動エネルギーは角速度の関数としてあらわされますから，

位置エネルギ＝運動エネルギー
とおいてやれば簡単に答が出せます。
運動エネルギーは慣性モーメントを知らなくても，一様な棒なら根元から積分してやれば，さくっと計算式がたてられます。

noname#17965 · Answer

この問題、私も興味ありまして回答に注目しているのですが、なかなか回答が付きませんねぇ。。。。
＃２の件については、角度θで表しておいて、答えが出た時点でθ→０°で極限を取ればいいと思います。

eria77 · Answer

重力の方程式＋角速度で求まると思います。

簡単に、針の長を半径とし、円周の１／４を求め、
その移動距離＝重力式で計算して下さい。

Dicynodon · Answer

垂直にたっている針には一切回転モーメントはかかっていませんから倒れません．
実際にはこの状態では不安定なので倒れてしまいますが計算式をたてることは不可能です．

ただし，針が少しでも傾いていれば話は別です．

unos1201 · Answer

教育実習は高校物理でした。

慣性モーメントの実験ではないのでしょうか。

自然落下の場合には、空気の抵抗を受ける軽い体積の大きいものや速度が著しく速い場合を除き、簡単に計算ができます。高さが決まれば、初速度さえ決まれば、落下する位置を指定して、そこの速度、そこまでの到達時間が質量に関係なく予測できます。

真空中では鉄と羽も同時に同じ高さからなら、同じように落下できるのです。これに対して、針金みたいに長さがあり、片方は接地していて、もう片方は落下方向に向かい加速すると、慣性モーメントを計算する必要があります。

これは、回転しようとする力がそれを打ち消そうとする地面についた方から影響を受けて、地面とは反対の位置エネルギーが完全に０になるまでに、回転する速さ、回転のエネルギーに変換してしまうので、そのロスも計算しないと最終速度や地面に倒れるまでの時間を計算できないのです。

扇風機の羽を同じモーターで回すにも、羽の先に５００円玉を５０枚もつけるとかなりゆっくり加速するようになりますし、単純な円盤を回す場合は比較的簡単ですが、内側が重く、外側が軽いものと、内側が軽く、外側が非常に重いものでは、回そうとする加速も止めようとするときの減速も後者の方が小さいと思います。

実験書や参考書、試験問題を見ると思い出すのでしょうが、車のタイヤにしても、加速するときは中心で力を伝えるので、かなり大きい力を必要とするのに、ディスクブレーキでは小さい力で円周部に近いところなら静止させようとできるのは理解できると思います。

物理学はいろんな現象を数値化したり、計算できる理由を理解するために役立ちますが、考えたりする基礎を身に付けるにはいい刺激と練習になると思います。許されるなら、高校や中学で物理学を生徒に教える機会をもてたら物理畑でない人も物理が好きなことを理解してもらえるのですが、生物学系の専門家にはその機会はないと思います。

生物学でも最先端の細胞の電気現象を研究したりすると、やっている理論、装置、考えは物理学の隣接境界領域です。

針が倒れる時間

なんだかなあ‥

#6の途中までで#5の式を求め，そこから更に一歩すすめて，時間を表す式を出したということです．

一応最初傾いている場合の時間を求める式を求めてみます．

θ→0の極限では無限になります。

この問題、私も興味ありまして回答に注目しているのですが、なかなか回答が付きませんねぇ。

重力の方程式＋角速度で求まると思います。

垂直にたっている針には一切回転モーメントはかかっていませんから倒れません．

教育実習は高校物理でした。

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　なんだかなあ‥