正八角形の性質について

添付画像の図、正八角形について、

①△AHIが直角二等辺三角形になる事の証明を教えていただけないでしょうか？
②ABとHCが平行になるのは感覚的にはわかるのですが、こちらも証明していただきたいと思います。
③AI:CD=AI:AH=1/√2:1になるそうなのですが、理由を教えてください。

何卒ご教授の程、宜しくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/19 22:47

正八角形の正確な定義は知りませんが、下記のように「8つの辺の長さがすべて等しく、かつ8つの角の大きさがすべて等しい多角形」のようです。

https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/ …

　正八角形の外接円の中心を O とすると、対角たとえば AE, BF などは Ｏ を通ります。
　隣り合う角と O とでできる三角形は二等辺三角形になり、8つの二等辺三角形は全て合同になります。（頂角と、頂角をはさむ2辺の長さが等しいから）
　中心角は 360/8 = 45° 、角の内角は135°です。

　おそらく「正8角形の対称性より明らか」という説明ではダメで、それも証明して使う必要があるでしょう。上のように、8つの二等辺三角形は全て合同になることから証明するのでしょうね。

　△AHIが直角二等辺三角形になるのは、ABとAFが直角（何故ならBFは外接円の直径だから）、ABとGHが直角、GHとHCが直角などを利用して∠AIHが直角であること、∠BAHが135° であることから∠IAHが45° 、同様に∠IHAが45° ということから証明するのでしょう。

　ABとHCが平行になるのは、上記の相互関係の中で証明できるでしょう。

　CD=AHは正八角形の定義そのものです。あとは、上で証明した△AHIが直角二等辺三角形であることから求まります。

この回答へのお礼

大変詳しくご回答いただき、まことにありがとうございました。
理解することができました。

お礼日時：2016/09/23 20:44

No.1 回答者： 理系好きの人 回答日時： 2016/09/18 21:08

➀正8角形の対称性より明らか。

45度回転させたら重なりますよね？（IHとIAが）
②角FIH=角BKC=90度
つまり錯覚が等しいのでこれらは平行となる
➂CD=AHは明らか。
直角二等辺三角形の辺の比は1:1:√2ですから
AH:IA=1:√2
両辺√2で割ってこれを得る

この回答へのお礼

早急にご回答いただき、誠にありがとうございました。

お礼日時：2016/09/23 20:46