純正律による調弦とオクターブの関係（考え方）について

ヴァイオリンを習っている者です。

先生から、通常のチューナーで調弦するときは、Ａを基準値（たとえば442Hz）に合わせた後、ＤとＥはそれぞれ２セント弱プラスのほうへ、Ｇは４セント弱プラスのほうへ合わせたほうがいいと言われました。

平均律と純正律では、５度の場合、1.96セントのズレがありますから、ＤとＥについては納得できます。

ただ、Ｇは、基準のＡから１オクターブ以上離れたところにあります。

純正律派であってもオクターブの概念（約束事）を守るのであれば、いちどオクターブでリセットされるわけなので、単純に「基準のＡから４セント弱離す」というのはおかしいのではないかと。

ただ、考えていても私のアタマでは埒が明かず、どなたか詳しい方にご教示いただければ幸いです。（うちの先生は説明力がまったくないので、説明力のある方におすがりする次第です／笑）

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/21 21:00

すでに平均律と純正律、「セント」などをご承知のようなので、普通に言えば、「平均律の五度は、純正律の五度に比べ、約２セント狭い」ので、A線を基準にすると

　・上のＥ線は、チューナー（平均律）で合わせると、純正五度上よりも約２セント低い
　・下のＤ線は、チューナー（平均律）で合わせると、純正五度下よりも約２セント高い
　・下のＧ線は、チューナー（平均律）で合わせると、Ｄ線から純正五度下（基準のＡ線から純正五度２回分下）よりも約４セント高い（五度２回分なのでズレが２倍）
ということです。

　平均律でも純正律でも「オクターブで周波数２倍」ということで、オクターブごとに一致させれば差はリセットしますが、ヴァイオリンの調弦の場合には「純正五度の積み重ね」（低い方には A → D → G と五度２回）なのでリセットしません。（オクターブで合わせることはしませんよね？）


　「セント」を理解されているのであれば、理論的な話をしておきましょう。興味がなければ、あるいは数学に詳しくなければ読み飛ばしてください。

　チューナーは、基準音f0（たとえばA=442Hz）に対して、各々の音の周波数を「平均律」で計算しています。
　「平均律」の半音とは、オクターブの周波数比「２倍」を、数学的に均等に「1/12」したものです。とは言っても「かけ算的に1/12」ということで、数学的には「２の12乗根」（2 の 1/12乗）ということです。
　つまり、半音の周波数比が　2^(1/12)　倍ということです。半音を12回重ねると（12回かけ合わせると）周波数比で2倍になります。

　ということで、「五度」は「半音7つ分」なので、周波数比で 2^(7/12) （２の 7/12 乗）
　つまり、基準の A 線に対して、五度上の E の周波数は f0*2^(7/12) ≒ 1.498307*f0 です。
　耳で聞いて純正五度にチューニングすれば、五度上の E の周波数は 1.5*f0 です。（純正五度とは、周波数比で 1.5 倍）
　その比（ズレの度合い）は、平均律を基準にして
　　1.5*f0 / (1.498307*f0) ≒ 1.001123
です。（周波数は、すべて「かけ算」の関係なので、「ズレ」も引き算ではなく「割り算」で表わします）

　「セント」という単位は、この「かけ算の関係」を「足し算の関係」で表わすようにしたものです。つまり、数学的には周波数比の「対数」です。上記を対数で表わすと
　　Re = log[ 1.5*f0 / (1.498307*f0) ] ≒ 0.00049045
となります。

　音程の1セントとは、半音の 1/100、つまり「オクターブの 1/1200 」の対数ですから
　　2^(1/1200) = 1.0005778
　　Rc = log[ 2^(1/1200) ] ≒ 0.0002509　　　(A)
となります。

　上の Re が、この Rc の何倍かというと
　　Re / Rc ≒ 1.955
ということです。あなたの書かれている「E 線は 1.96セント上げる」とは、このことを言います。


　ヴァイオリンの他の弦の調弦では、五度調弦だと
　　D線：Aの五度下　→ (2/3)f0
　　G線：D線の五度下　→ (2/3) * (2/3)f0 = (4/9)f0 ≒ 0.444444*f0　　①
でチューニングします。

　このG線①が、平均律の G 、つまり
　　f0 * 2^(10/12) ≒ 1.781797
の2オクターブ下、つまり周波数で (1/2)^2 となる
　　f0 * 2^(10/12) /4 ≒ 0.445449*f0　　①
とどれだけの「セント」離れているか、計算できますよね。

　やってみると、①と②の周波数比は、平均律の方を基準にして、
　　0.444444*f0 / 0.445449*f0 ≒ 0.997744
この対数をとると
　　Rg = log[ 0.444444*f0 / 0.445449*f0 ] ≒ -0.00098094
これが (A) の１セントの何倍かというと
　　Rg / Rc = -3.9097
つまり、「約4セント下げる」ということです。

　ヴァイオリンの先生は、ここまで数学的な話は理解されておらず、単に「セントでいえばこんな値」というのを知っているというだけかと思います。理科系でもない限り、ここまでの話はご存じないでしょう。

この回答へのお礼

懇切丁寧にご回答をいただきまして、ありがとうございます。「ヴァイオリンの調弦の場合には『純正五度の積み重ね』（低い方には A → D → G と五度２回）なのでリセットしません。」という、この明確なご指摘がいちばん得たかったものでした。自分の中でもなんとなく、「純正５度調弦楽器は、その考え方を貫くべきであって、Ｇで妥協するというのは、結果的にどっちつかずになってしまう」と感じていたのですが、ご回答をいただけたのですっきりしました。もちろん純正５度の関係性だけで上下にどんどん音域を広げていけば、平均律との差が大きくなって折り合いがつかなくなるでしょうが、ヴァイオリンはせいぜい３オクターヴ半ですし、音の問題は周波数だけではなく、音色、演奏技術、独奏なのか合奏なのか（純正律楽器同士か平均律楽器同士か）など、そのシチュエーションによって異なってきますので、「何が美しいか」を基準に話し出すと容易に結論は出ないだろうと思います。なにはともあれ、ありがとうございました。

お礼日時：2016/09/23 07:17

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/09/21 15:04

全然知らんけど調べた範囲で書いてみる無謀な試み.

Wikipedia の
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A1 …
によれば
・A に対して D は完全 5度 (純正律で 702セントほど) 下
・D に対して G は完全 5度 (純正律で 702セントほど) 下
なので, A に対して純正律の G は1404セントほど下の音になります. 一方平均律の G は 1400セント下の音ですから, 純正律の方が 4セントほど広がっていることがわかります. このことを「Ｇは４セント弱プラスのほうへ合わせたほうがいい」といってるんじゃないかな.

「オクターブでリセットされる」は何が「リセット」されるのかわからんし「基準のＡから４セント弱離す」は素直に解釈するとさすがにあまりにもおかしい (「ＤとＥはそれぞれ２セント弱プラスのほうへ」というのを「基準の A から離す」と理解していなさそうなのと比較すると不自然) のでノーコメント.

この回答へのお礼

ご親切にご回答をくださいまして、誠にありがとうございます。「先生」というのも、大抵は「感覚派」の人が圧倒的に多いので、なかなかこういった「理屈」の問題に答えていただけないのが現状です。いただいた回答を参考にさせていただきます。ありがとうございました。

お礼日時：2016/09/23 06:59