tanhxの原始関数の求め方について疑問があります

tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)を用いて、
∫[x]tanh(x)dx
=∫[x]((cosh(x))'/cosh(x))dx
=log|cosh(x)|+C
となるのは分かるのですが、e^x=tと置換して計算した場合に答えが合いません。

e^x = tとおくと、
dx/dt = e^xより、dx = dt/t，x=log(t)
∫[x]tanh(x)dx
=∫[x]( (e^x - e^(-x) ) / (e^x + e^(-x) ) )dx
=∫[logt]( (t - 1/t) / (t + 1/t) ) dt/t
=∫[logt]( (t - 1/t) / t(t + 1/t) ) dt
=∫[logt]( (t^2 - 1) / t(t^2 + 1) ) dt
部分分数に分けて、
=∫[logt]( (2t / t^2 + 1) - 1/t ) dt
=∫[logt]( ( (t^2 + 1)' / t^2 + 1) - t'/t ) dt
=log|(log(t))^2 + 1| - log|log(t)| + C
=log|(log(e^x)^2) + 1| - log|log(e^x)| + C
=log|x^2 + 1| - log|x| + C
=log|(x^2+1) / x| + C

となってしまいます。
どこで間違えているのかご教唆下さい。
よろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 

  回答ありがとうございます．
  e^x=tと置くと，x=logtなので，
  ∫[x]→∫[logt]ではないのですか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/11/12 00:19

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/11/12 03:53

>e^x=tと置くと，x=logtなので，

>∫[x]→∫[logt]ではないのですか？

置換積分では積分範囲も置換しないといけないのですよ。
置換積分の基本!

不定積分なら、範囲のことは忘れてよいです。

∫[x]～dx=∫[e^x]～dt=∫[t]～dt

この回答へのお礼

ありがとうございました．

お礼日時：2016/11/13 09:58

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/11/12 03:46

根本的なところで間違っています.

置換積分すれば, 積分区間は変わります.
これって, 高校数学でも習いますよね.
∫tanh(x)dx という不定積分の積分区間が, 定数 a を用いて [a, x] なのだとすれば,
置換積分したときの積分区間は [e^a, e^x] = [e^a, t] であって, [a, log(t)] ではありません.

この回答へのお礼

ありがとうございました．
疑問が解けました．

お礼日時：2016/11/13 09:58

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/11/11 21:09

>=∫[logt]( ( (t^2 + 1)' / t^2 + 1) - t'/t ) dt

>=log|(log(t))^2 + 1| - log|log(t)| + C

じゃなくて

>=∫[t]( ( (t^2 + 1)' / t^2 + 1) - t'/t ) dt
=log(t^2 + 1) - log(t) + C
=log(t+1/t)+C=log(2coshx)+C=log(coshx)+C’

t を logtに置き換えているのが敗因。置換のし過ぎ(^^;