連立1次方程式
A+2B+ C-3D=-1
2A+5B -5D= 1
-3A-8B+ C+7D= a
A- B+7C-6D= b
が解を持つようにa,bを定めて、これを解け。
という問題で、階段行列に変形して解くのですが、a=-3,b=-10まで求まるものの、A,B,C,Dが求まりません。(求まらないというより、a,bを求めるために変形した階段行列が、
1 2 1 -3 -1
0 1 -2 1 3
0 0 0 0 a+3
0 0 0 0 b+10
の形になって、情報不足で、A,B,C,Dが定まりません。)どこか間違っているのでしょうか?
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
再度書き込みをさせてもらいます。
a,bは求まります。
そのときA,B,C,Dについて4つの方程式に
なるので一見解けそうに見えます。
しかし4つの式が独立ではないので2つ分の式しか
ありません。
行列式の階数が2とはそういうことです。
実際1つ目の式と3つ目の式を引き算すると
2つ目の式が作れたりします。
この4次の行列の逆行列はありません。
どれか2つの文字を使って答を表すことになります。
No.5
- 回答日時:
本当ですね
ojamanboさん、ありがとうございます
lion_tigerさんすいません、解はないようです
計算機に逆行列を解かしたら一応解がでたので
「でるじゃん!」と思ってしまいました…
keyguyさん、ojamanboさん、tkmさん、本当にどうもありがとうございます。(まとめてのお礼となりまして恐縮です。)
結果は、
a=-3,b=-10となり、
A=1/5・0 +X/5・5+Y・0
B=1/5・0 +X/5・0+Y・1
C=1/5・(-8)+X/5・1+Y・1
D=1/5・(-1)+X/5・2+Y・1
(X、Yは任意定数)
という形で正しいでしょうか?
再度確認を求めるようで恐縮ですが、この分野の計算に自信が持てないためよろしければ確認していただけますでしょうか?
No.3
- 回答日時:
この問題
A+2B+ C-3D= -1
2A+5B -5D= 1
-3A-8B+ C+7D= a
A- B+7C-6D= b
は
| 1 2 1 -3| |A| |1|
A=| 2 5 0 -5| X=|B| b=|1|
|-3 -8 1 7| |C| |a|
| 1 -1 7 -6| |D| |b|
と置くと
Ax=b
と表されます。
No1の方の補足ですが、一次の連立方程式が解を持つためには係数行列Aと拡大係数行列[A b]の階数が等しいという条件があります。式で書くと次のようです
rank[A]=rank[A b]
rankというのは階数のことで拡大係数行列は
| 1 2 1 -3 1|
[A b]=| 2 5 0 -5 1|
|-3 -8 1 7 a|
| 1 -1 7 -6 b|
となります。
No1の方の言うようにAの階数は2、拡大係数行列[A b]を基本変形すると
|1 2 1 -3 1 |
|0 1 -2 1 3 |
|0 0 0 0 a+3 |
|0 0 0 0 b+10|
となりますので、この行列の階数が2になるためには
第3,4行4列目成分が0になればいいので
a=-3 b=-10
という条件がでてきます
a,bがこの値をとるときこの連立一次方程式は解を持ちます。このとき方程式は
A+2B+ C-3D= -1
2A+5B -5D= 1
-3A-8B+ C+7D= -3
A- B+7C-6D= -10
です
ABCDの解ですが、今行列で表しているので解は
Ax=b より
x=inv(A)*b
でもとまります。inv(A)はAの逆行列です
手計算は大変なのでscilabというソフトに計算させてみると
|A| |-10.508399|
x=|B|=10^16×| 6.6052795|
|C| | 4.5035996|
|D| | 2.4019198|
になりました。ばかでかいですね…
No.1
- 回答日時:
1 2 1 -3
0 1 -2 1
0 0 0 0
0 0 0 0
の階数は2
1 2 1 -3 -1
0 1 -2 1 3
0 0 0 0 a+3
0 0 0 0 b+10
を基本変形すると
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 a+3
0 0 0 0 b+10
これが階数2であるためには
a+3=0かつb+10=0でなければならない
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