統計学 多変数の確率分布

以下の問題が分かりません。

2つの確率変数X, Y に対して, E[max(X,Y )] = E[X] + E[Y ]−E[min(X,Y )]が成り立つことを示せ。

よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/12/16 12:13

> 右辺第３項を移項すると、左辺はE[X+Y]になる。

> E[X+Y]＝E[X]+E[Y]の証明問題に帰着される。
これは、論理の展開がおかしいです。

任意の確率変数について、
E[X+Y]＝E[X]+E[Y] 　… （☆）
ということを事実を使って、はじめて右辺第３項を移項すると、左辺がE[X+Y]になることを言えるわけです。

実際やってみれば、右辺第３項を左辺に移項して、
E[max(X,Y)] + E[min(X,Y)]
= E[max(X,Y) + min(X,Y)]
= E[X + Y]

１行目から２行目への変形で、（☆）を使っています。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2016/12/17 05:43

#1です。

E[X+Y]＝E[X]+E[Y]

をまず最初に証明してしまえば、
移項して集約できると考えたのですが、いかがでしょうか。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2016/12/16 00:43

ヒントでいいですか。

右辺第３項を移項すると、左辺はE[X+Y]になる。
E[X+Y]＝E[X]+E[Y]の証明問題に帰着される。