統計学の問題です。正規分布N(m,ρ^2)に従う確率変数X及び、Y=e^Xを考える。 P(Y≦E[

Question

統計学の問題です。

正規分布N(m,ρ^2)に従う確率変数X及び、Y=e^Xを考える。

P(Y≦E[Y])>1/2を示せ

どなたか教えていただけますか？

E[Y]=e^(μ+ρ^2/2)です

kamiyasiro · Accepted Answer

お節介ですみません。

E[Y｣の式が与えられていることから、明らかなのですが、

対数軸上の平均値　⇔　リニアスケール軸上の平均値

の対応の一般論です。

対数軸上の任意の分布（正規分布とは限らない）の平均値がｍのとき、リニアスケール軸上の平均値は、それを変換したe^mだとするのは間違いです。

市販本でも、やらかしている事例が散見されます。

正しくは、対数軸上の平均値は、リニアスケール軸上では「幾何平均」に対応します。
対数の足し算をすることは、掛け算を意味するからです。

こんなことも併せて覚えておくと良いと思います。

ゆえに、この問題は、（算術平均）＞（幾何平均）の証明問題としても出題されます。

試験では、こちらが出るかもしれません。

kamiyasiro · Answer

#1です。

訂正があります。

私、#1で、Yの密度関数であるべきところを、Y＝の式で書いています。
f(Y)と読み替えて下さいませ。

積分して確率を出す前の式です。

おっちょこちょいで、本当にすみません。

kamiyasiro · Answer

#1です。

もし、この問題でE(Y)の式が与えられていなかったら、それはそれで大変です。
公式として覚えておくべきかもしれません。

参考までに導出を示しておきます。平均は１次の積率であることを使っています。また、最後の変形はガウスの公式を使っています。（質問中のXは以下ではYになっています）

kamiyasiro · Answer

統計処理でよく使う対数変換の問題ですね。
Y＝e^X を対数変換すると、log(Y)＝X となり、Yは対数軸上で正規分布する分布「対数正規分布」になります。

さて、P(Y≦E(Y))＞1/2 を示すには、E(Y)（平均）＞メディアン（中央値）を示せば良いです。累積確率が1/2となるのはメディアンだからです。

もし、これをリニアスケール上で正攻法でやるなら、Y＝e^X に正規分布関数を代入した、
Y＝exp（(2πρ^2)^-1・enp(ー(x－m)^2／2ρ^2)）
をー∞からxまで積分したものを1/2と置いてxを解けば、メディアンが出てくるので、比較すれば良いです。
しかし、それは相当手間取ります。

メディアンは相対位置ですから、軸を変換しても位置は変わらないことに着目し、Yの両辺を対数変換すると、
log(Y)＝X
log(Y)は正規分布に従います。正規分布は平均とメディアンが等しいので、logスケール上のlogYのメディアンはｍ、ゆえにリニアスケール上のＹのメディアンはe^mとなります。

E(Y)は既に与えられておりますが、E(Y)＝exp(μ＋σ^2/2) の間違いです。
これは、logスケール上のμとσを使って、リニアスケール上の平均値を求める変換式です。
logスケール上では、平均がm、標準偏差がρですから、リニアスケール上では、E(Y)＝exp(m＋ρ^2/2)となります。

あとは、メディアンe^m と、平均exp(m＋ρ^2/2) を比較します。

（平均）ー（メディアン）
＝exp(m＋ρ^2/2)－e^m
＝exp(m)＋exp(ρ^2/2)ーexp(m)
＝exp(ρ^2/2)
＞0

∴E(Y)（平均）＞メディアン（中央値）

統計学の問題です。 正規分布N(m,ρ^2)に従う確率変数X及び、Y=e^Xを考える。 P(Y≦E[