同値について

Question

|a + b| = a - bのとき、|a+b| = a - b ≧ 0ですから
|a + b| = a - b ⇔ a^2 + 2ab - b^2 = a^2 - 2ab - b^2 ⇔ 4ab=0

つまり|a + b| = a - b ⇔ 4abですか？

クソgooは死ね · Accepted Answer

貴方の疑問は, 完全に解決したのでしょうか.
それを検討する前に, 誤植の可能性が高い部分を訂正します.
本当の質問は, おそらく

|a + b| = a - b のとき, |a + b| = a - b ≧ 0 ですから
|a + b| = a - b ⇔ |a + b|^2 = (a - b)^2 ⇔ 4ab = 0
つまり, |a + b| = a - b ⇔ 4ab = 0 ですか？

ですよね.

|a + b|^2 = (a - b)^2 ⇔ 4ab = 0 は疑う余地が無いので, 考える必要があるのは
|a + b| = a - b ⇔ |a + b|^2 = (a - b)^2 という部分だけです.
今回の質問の背景にあるのは, A ≧ 0 かつ B ≧ 0 のとき A = B ⇔ A^2 = B^2, という知識だと思われます.
これに A = |a + b|, B = a - b を当てはめれば,
A = B のとき, A ≧ 0 かつ B ≧ 0 が成り立つから A = B ⇔ A^2 = B^2
すなわち, |a + b| = a - b ならば |a + b| = a - b ⇔ |a + b|^2 = (a - b)^2, と考えたんじゃないでしょうか.
そうだとしたら, 少しも間違っていません.
要するに, 任意の実数 a, b に対して,
|a + b| = a - b ⇒ (|a + b| = a - b ⇔ |a + b|^2 = (a - b)^2)
という命題は真です.

>つまり, |a + b| = a - b ⇔ 4ab = 0 ですか？
最後の一行にて仮定を書かず, 結論のみ書いたため, 回答者たちには誤解されたようです.

tosa0824 · Answer

絶対値記号のはずしかたは決まっています。

(1)中身が0以上の場合は、そのまま絶対値記号をカッコに変えます。
a+b≧0の場合、
|a+b|=a-b
 ⇔(a+b)=a-b
 ⇔2b=0 よって、b=0。よって、a≧0。…①

(2)中身が0より小さい場合、絶対値記号は、マイナス付きのカッコに変換します。
a+b<0の場合、
|a+b|=a-b
⇔-(a+b)=a-b
⇔2a=0 よって、a=0。よって、b<0。…②

①と②を満たすa,bは存在しない、が答えになります。

kairou · Answer

ちょっと変じゃない？
|a + b| とは、a+b≧0　の時は　|a + b| = a +ｂ　です。
逆に　a+b<0 の場合は　|a + b| = ー（a+b）です。
どちらにしても、それが　aーb と同値になるには、
a,b のどちらかが０でなければなりません。
従って、|a + b| = a - b　はa=a 又は b=b になるはずです。
4ab は０になりますから　|a + b| = a - b と同値にはなりません。

kmee · Answer

|X|=Y → |X|^2 = Y^2
は言えますが、逆は 成り立ちません。
(反例) X=1,Y=-1のとき、 |X|^2=Y^2=1 だが、 |X|≠Y

|a+b|^2 = (a-b)^2
から導いた
　4ab=0 
について
　|a + b| = a - b → 4ab=0
は成り立ちますが、逆は成り立ちません。

tekcycle · Answer

正規の手続きを経て解いてみた結果と付き合わせてどうなのか、自分でできるようになると、数学の力が上がります。
他人に聞いているようだと。少なくとももう一歩踏み込んだ上で、解らないことを聞かないと。

ａ＋ｂ≧０の場合、要するにｂ＝０
ａ＋ｂ＜０の場合、要するにａ＝０
だからどちらあっても４ａｂ＝０、ａｂ＝０になるんでしょう。
しかし、ａｂ＝０、つまりａかｂかどちらかが０または両方が０、という意味ですが、その場合、
例えばａ＝０、ｂ＝－１の場合、
ａｂ＝０×(－１)＝０で、
｜０＋(－１)｜＝０－(－１)
で成り立ちますが、
ａ＝０、ｂ＝１の場合、
ａｂ＝０×(１)＝０でも、
｜０＋(１)｜≠０－(１)
なので、ａｂ＝０なら｜ａ＋ｂ｜＝ａ－ｂ、は、必ずしも成り立たない、ａｂ＝０なら｜ａ＋ｂ｜＝ａ－ｂである、は数学的には間違いである、となります。
｜ａ＋ｂ｜＝ａ－ｂならａｂ＝０である、の方は数学的に正しいです。
勿論⇔の記号の意味は理解できていますよね？

自力でここまで持ってこれたなら、あ、そっか、で済むんで、それはそれで力になるんですが。
あれ？これどうなの？というのは、それ自体がちょっとした問題になることがあるのです。
もう一歩踏み込みましょう。

同値について

絶対値記号のはずしかたは決まっています。

ちょっと変じゃない？

|X|=Y → |X|^2 = Y^2

正規の手続きを経て解いてみた結果と付き合わせてどうなのか、自分でできるようになると、数学の力が上がります。

貴方の疑問は, 完全に解決したのでしょうか.

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング