No.1
- 回答日時:
あなたが計算しようとしたとおり、そのまま x = 1 とすると、0/0 となります。
極限が存在することから、分子、分母に(x - 1) が因数として存在し、それがキャンセルされます。その結果、極限が得られるわけです。分子が、(x - 1) を因数にもつことと、xの2次式であることから、x^2 + ax + b = (x - 1)(x - c)
のように分解されます。右辺を展開して、次数の等しいもの同士を比較して、
a = -(1 + c), b = c
となりますから、分子は、(x -1)(x - b) となります(a = -(1 + b))。
lim (x - 1)(x - b)/{(x - 1)(x + 1)} = lim (x - b)/(x + 1)
となり、ここで、xを1に近づけると、与式は、
(1 - b)/(1 + 1)
となります。ここで、条件から、この値が2となるから、
(1 - b)/2 = 2
となり、これより、
b = - 3
となり、これを a の式に代入して、
a = 2
となる。
No.2
- 回答日時:
もしかして
lim_[x->1]{(x^2 + ax + b)/(x^2 - 1)} = {lim_[x->1](x^2 + ax + b)}/{lim_[x->1](x^2 - 1)}
が成り立つと思っているのですか.
残念ながら, この問題の場合, 上の等式は成り立ちませんが, その代わりに
lim_[x->1]{(x^2 + ax + b)/(x^2 - 1)} * lim_[x->1](x^2 - 1) = lim_[x->1][{(x^2 + ax + b)/(x^2 - 1)} * (x^2 - 1)]
は成り立ちます.
高校数学では, これが成り立つという事実だけ教えて, 成り立つことの証明は教えません.
で, 左辺 = 2 * 0 = 0 で, 右辺 = lim_[x->1](x^2 + ax + b) ですから,
lim_[x->1](x^2 + ax + b) = 0 と結論できます.
No.3
- 回答日時:
(長くなりましたので、要約は中段の☆に囲まれている部分になります)
簡単に考えましょう。
与式が成り立つとき、とあるのですから、
lim(x→1)[(x^2+ax+b)/(x^2-1)]=2です。
つまり 与式≠0/0
そして 与式≠n/0=±∞(n≠0) です。
と言うことは、
lim(x→1)[(x^2+ax+b)/(x^2-1)]=2という式は、
(x^2+ax+b) を (x^2-1)=(x+1)(x-1) で割り切れるということを表しています。
つまりx-1でも割り切れるのです。
(x^2+ax+b)/(x-1)を考えた時、
x^2+ax+b=x^2+(-1+1)x+ax+b
=(x-1)x+(1+a)x+(-(1+a)+(1+a))+b
=(x-1)x+(x(1+a)-(1+a))+(1+a+b)
=(x-1)x+(x-1)(1+a)+(1+a+b)
よって
(x^2+ax+b)/(x-1)=x+1+a 余り 1+a+b
となります。
x-1で割り切れる為
余り=1+a+b=0 である必要があります。
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
lim(x→1)[(x^2+ax+b)/(x^2-1)]=2 が成り立つ為には
(x^2+ax+b)を(x^2-1)の因数である(x-1)で割り切れる必要があり、
lim(x→1)[x-1]=0であることから、
lim(x→1)[(x^2+ax+b)]=0である必要があるのです。
lim(x→1)[(x^2+ax+b)]≠0の時、
lim(x→1)[(x^2+ax+b)]がlim(x→1)[(x-1)]=0の倍数であることはありえないからです。
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
この余りの式を変形さえると b=-1-a となります。
また、
lim(x→1)[(x^2+ax+b)/(x-1)=x+1+a=2(x+1)]
よって
lim(x→1)[a=x+1]
=2
これを代入することで
lim(x→1)[b=-1-a]
=-1-2
=-3
と解くことができるのです。
No.4
- 回答日時:
lim(x→1)(x²+ax+b)=1+a+b
いま、仮に1+a+b ≠0ならば、lim(x→1)(1/(x²-1))=+∞か-∞なので
問題の関数のlim(x→1)は+∞か-∞に発散してしまう、
したがって、1+a+b =0、b=-(a+1)だから
x²+ax+b=x²+ax-(a+1)=(x-1)(x+a+1)したがって
x≠1なら、(x²+ax+b)/(x²-1)=(x+a+1)/(x+1)ゆえに
lim(x→1){(x²+ax+b)/(x²-1)}=lim(x→1){(x+a+1)/(x+1)}=(a+2)/2
この極限値が2だから、(a+2)/2=2、これよりa=2、またb=-(a+1)=-3
です。
No.5
- 回答日時:
lim は 0/0 を計算するのではなくて
xを1に近づけた時、(x^2+ax+b)/(x^2-1) が何に近づくかを
調べるだけです。
x^2+ax+b が x→1 で0に近づかないと、(x^2+ax+b)/(x^2-1)
は発散してしまうので、因数として (x-1) を持つはずです。
x^2+ax+b=(x+c)(x-1) と置くと
(x+c)(x-1) = x^2 + (c-1)x -c だから、係数を比べると
b = -c, c-1 = a
(x^2+ax+b)/(x^2-1) =
(x+c)(x-1)/{(x+1)(x-1)}=(x+c)/(x+1)
この分数の約分は x-1≠0 だから成り立ちます。
x→1 はあくまで x ≠ 1
で x を 1 に近づけてゆくからです。
lim[x→1](x+c)/(x+1)=(1+c)/2 = 2 ですから c = 3
従って、b = -3, a = 2
No.6
- 回答日時:
No.4です。
分母=x^2-1→0かつ、
極限が有限の値に収束することから
分子=x^2+ax+b→0である必要がある
これはつぎのようにすれば、よりかんたんかと思います
x^2+ax+b={(x^2+ax+b)/(x^2-1)}(x^2-1) と書きなおせば
右辺の中かっこはx→1のとき条件より2に収束し、x^2-1はx→1のとき0に収束するから
積の極限は極限の積の公式によりx→1のときx^2+ax+b→2×0=0 です。
そして、x→1のとき、x^2+ax+b→1+a+bでもあるから、1+a+b=0となります。
No.7ベストアンサー
- 回答日時:
自分で作るというか、式を変形させるわけですね。
=2に収束するのでx≠1です。
x≠1ならx-1で割れます。=2(整数)なので割り切れます。
つまりx-1で約分できます。
約分によりx-1を消せれば0/0という表現は無くなり、=2に収束します。
x-1で約分できるということは、分子もlim(x→1)によって0である必要があるという事です。
0/0が約分できるのではなく、(x-1)/(x-1)が約分できるのです。
説明するというのは難しいですね(汗)
これらの説明で分かるでしょうか?
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