学校で出された問題です。
354のように3桁の数字の和が、12(三の倍数)になり、354÷3をすると割りきることが出来るのか、説明しなさい。
という問題です。本当に全然分からないのです。知ってる方いたらわかりやすく説明お願いします。

質問者からの補足コメント

  • なんで3で割りきれるのかが分からないのです。
    354=(3+1)+(5+1)+(4+1)
    =4+6+5
    =15(三の倍数)
    これは何故3桁を足すと三の倍数になるか
    一様の式何ですが、割りきれるのを意味する式が作れないのです。

      補足日時:2017/03/16 17:59
  • 説明不足でした。私が知りたいのは、「3で割り切れるかどうか」ではなく
    「どうして3で割り切ることが出来るかの式と理由」です。すみませんでした。m(_ _)m

      補足日時:2017/03/16 20:32

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A 回答 (13件中1~10件)

小学生なら先ずは、以下をおさらいして見よう。


   1を3で割ると、余り1
   2を3で割ると、余り2
   各桁の数字が余りになる。
-----------------------------------------
  10を3で割ると、余り1
  20を3で割ると、余り2
  40を3で割ると、余り4
  各桁の数字が余りになる。余り4は未だ3で割り切れるから、割ると余り1
  40を3で割ると、余り1
-----------------------------------------
 100を3で割ると、余り1
 200を3で割ると、余り2
 400を3で割ると、余り4
 各桁の数字が余りになる。余り4は未だ3で割り切れるから、割ると余り1
 400を3で割ると、余り1
-----------------------------------------
  30を3で割ると、余り3→余りが3で割り切れる→ 30が割り切れる
 300を3で割ると、余り3→余りが3で割り切れる→300が割り切れる

-----------------------------------------

  10を3で割ると、余り1
 100を3で割ると、余り1
+)-------------------------------------
 110を3で割ると、余り2


   1を3で割ると、余り1
  10を3で割ると、余り1
 100を3で割ると、余り1
+)-------------------------------------
 111を3で割ると、余り3 余りが3で割り切れる→111も割り切れる


 300を3で割ると、余り3
  50を3で割ると、余り5
   4を3で割ると、余り4
+)-------------------------------------
 354を3で割ると、余り12 余り12も3で割り切れる。
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この回答へのお礼

なるほど!(´▽`)、やり方が分かりました。ありがとうございます(*´˘`*)。

お礼日時:2017/03/18 08:09

「どうして3で割り切ることが出来るかの式と理由」が知りたいんですね?


簡単に説明してみますね。

3桁の数字をそれぞれa,b,cとします。和は12なので
a+b+c=12...①
次に3桁の数字をxとすると
100a+10b+c=x...②
と表せますね。
②-①を計算すると
99a+9b=x-12
x=99a+9b+12
となる
x=3(33a+3b+4)
この数式により
3桁の数字xは3の倍数となることがわかります。

結局みなさんと同じことを言ってるんですけどね。。。
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わからないのであれば、逆に考えてみましょう。


3の倍数は3,6,9,12,15…となっているのはわかりますね?
3,6,9は1桁なので問題ないと思います。

12になるとき、9に3を加えましたね。
「3を加える」というのは、「10を加えて7を引く」と同じことですね?
「10を加える」というのは、「10の位を1増やす」ということです。
「7を引く」というのは、「1の位を7減らす」ということです。
10の位が1増えて、1の位が7減ったので、1の位と10の位の数の合計は、6減ったと言うことです。
元々が3の倍数の9であったので、3の倍数の6減っても、やはり3の倍数である3となりますね。
つまり、3の倍数に3の倍数を加えても、各桁の数値を合計すれば3の倍数である事に変わりは無いのです。
3桁の数だろうが5桁の数だろうが、3の倍数に3の倍数を加えた時、繰り上がりによって各桁の数値の合計は3の倍数となるのです。

この理屈が分かれば、「全ての3の倍数の数値は、各桁の数値の和が3の倍数である。」といえる事が分かるかと思います。
それを式で表せというのがこの問題です。
他の方と同様の式になりますが、
a百b十cという3桁の数値を考えます。(a,b,cはそれぞれ0~9の整数です)
式で書くならば「100a+10b+c」という値です。

問題を書き直すと
「a+b+c=3の倍数」であった時に、100a+10b+cが3で割り切れることを説明しなさい。
となりますね。
100a=99a+a
10b=9b+b
であるので、
100a+10b+c=99a+9b+a+b+c
となります。
a,b,cは整数ですので、
99a=3*33a=3の倍数
9b=3*3b=3の倍数
前提より
a+b+c=3の倍数
よって
99a+9b+a+b+c=3の倍数+3の倍数+3の倍数=3の倍数
となるので、
100a+10b+c=3の倍数
となります。

354を当てはめると、
100*3+10*5+4
=3*33*3+3+3*3*5+5+4
=3*33*3+3*3*5+3+5+4
=3*(33*3+3*5)+12
12が3の倍数であるので、3の倍数である3*(33*3+3*5)と加算しても3の倍数です。
よって元の354も3の倍数です。

逆にa+b+cが3の倍数でなかった場合、
100a+10b+c=99a+9b+a+b+cであることに変わりはありません。
99a+9bは必ず3の倍数です。
a+b+cが3の倍数でないということは、
100a+10b+c=3の倍数+3の倍数ではない数=3の倍数ではない数
となります。
つまり、a+b+cが3の倍数かどうかがそのまま100a+10b+cが3の倍数かどうかにイコールだということです。

これは4桁で1000dを加えたとしても同様で、
1000d=333*3*d+dであるので、
a+b+c+dが3の倍数かどうかで1000d+100a+10b+cが3の倍数かどうかが決まります。
桁がいくつ増えようが同様です。

つまり、全ての数は『3の倍数+各桁の値の和』として表現することができるのです。
『3の倍数+各桁の値の和』が3の倍数になるかどうかは、各桁の値の和が3の倍数かどうかによって決まるということで、「各桁の値の和が3の倍数であれば必ず3の倍数である」と言えるのです。
それを3桁の数字の場合で式にしたものが、
100a+10b+c=99a+9b+a+b+c=3*(33a+3b)+(a+b+c)
というわけです。
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まだ解決していませんか?


小学生なら、小学生にも分かるように説明しないといけませんね。

まず、
 345 = 300 + 40 + 5
ということは分かりますね?

そのおのおのについて、次のように考えます。

(1) 300 = 297 + 3
    = 3 × 99 + 3
「99」は「3」で割り切れるので、うしろの「3」が「3」で割り切れれば「300」は「3」で割り切れます。

(2) 40 = 36 + 4
    = 4 × 9 + 4
「9」は「3」で割り切れるので、うしろの「4」が「3」で割り切れれば「40」は「3」で割り切れますが、この場合には「4」は「3」で割り切れないので、「40」は「3」では割り切れません。

(3) 5 = 5
「5」が「3」で割り切れれば「5」は「3」で割り切れますが、この場合には「5」は「3」で割り切れません。

これを全部合わせると、
 345 = 300 + 40 + 5
   = (3 × 99 + 3) + (4 × 9 + 4) + 5
   = (3 × 99) + (4 × 9) + (3 + 4 + 5)

同じように、
「(3 × 99) + (4 × 9)」は「3」で割り切れるので、うしろの「3 + 4 + 5」が「3」で割り切れれば「345」は「3」で割り切れます。この場合には「3 + 4 + 5 = 12」は「3」で割り切れるので、「345」は「3」では割り切れます。

もし「346」なら
 346 = 300 + 40 + 6
   = (3 × 99 + 3) + (4 × 9 + 4) + 6
   = (3 × 99) + (4 × 9) + (3 + 4 + 6)
で、うしろの「3 + 4 + 6 = 13」は「3」で割り切れるないで、「346」は「3」では割り切れません。

つまり、3ケタの各々の数を足し合わせたもの(上の「3 + 4 + 5 = 12」や「3 + 4 + 6 = 13」)が「3で割り切れるかどうか」で、もとの数(「345」や「346」)が「3で割り切れるかどうか」が決まります。
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百の位の数字をa、十の位の数字をb、十の位の数字をcとすると、


三桁の数字は100a+10b+cと表せます。
100a+10b+c
=(99a+a)+(9b+b)+c
=(99a+9b)+(a+b+c)
=3(33a+3b)+(a+b+c)・・・①
となります。
ここで、(a+b+c)が3の倍数であるならば、(a+b+c)=3dと表せますね。
①に代入すると、
3(33a+3b)+(a+b+c)
=3(33a+3b)+3d
=3(33a+3b+d)
となり、3の倍数になります。

基本中の基本です。
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何年生ですか?公立中ですか?

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この回答へのお礼

小学5年生です。あまり個人的な事言い過ぎると流石に。

お礼日時:2017/03/16 21:58

No.4&6です。



>でも私は354の数字で例えてほしいのです。

No.4はそうなっていますよ。
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>「どうして3で割り切ることが出来るかの式と理由」です。

すみませんでした。m(_ _)m

皆さんの答は、ちゃんとそうなっていますよ。
あなた自身が、せっかくいただいた回答をきちんと理解できないということですね。
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この回答へのお礼

まだ数学などの勉強はやってないものでして、でも私は354の数字で例えてほしいのです。この数字はこういうものだからこう出来るという様な説明が欲しく、皆さんが教えてくださったやり方を354と照らし合わせも大丈夫なのか分からなく、すみません。

お礼日時:2017/03/16 20:43

5を3で割ると、答えが1で余り2。


余りが3で割り切れれば全部が3で割り切れます。

6を3で割ると,答えが2で余りが0ですが
答えを1として、余り3でもいいんです。余りの3は未だ3で割り切れるから、全部が3で割り切れる。

7÷3=2 余り1
8÷3=2 余り2
9÷3=2 余り3 余り3は3で割り切れ、答え1 余り0 。答えは2+1=3 で余り0

下の図でどう??
「学校で出された問題です。 354のように」の回答画像5
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354 = (3 × 100) + (5 × 10) + (4 × 1)


  = 3 × (99 + 1) + 5 × (9 + 1) + (4 × 1)
  = [ (3 × 11) + (5 × 1) ] × 9 + (3 + 5 + 4)

です。ここまでは式を変形できますね?
 100 → 99 + 1
  10 → 9 + 1
にしているだけです。

このうち、第1項の
 [ (3 × 11) + (5 × 1) ] × 9
は「 × 9」となっているので「9の倍数」つまり「9で割り切れ」ます。9で割り切れれば、3でも割り切れます。

つまり、残る第2項目
 (3 + 5 + 4)
が「3で割り切れ」れば、もとの「354」は「3で割り切れ」るということです。
 3 + 5 + 4 = 12
なので、「3で割り切れ」ますね。
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です。

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例えば -1 mod 16 と、負の値を使った場合の対応が、言語毎やソフト毎に違います。
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-1 = 0 * 16 -1 より、 余り-1
どちらも、余りの考えとして間違いではありません。

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> 一の位で1は56個、2は56個なら1×56+1×56+1×56+1×56+1×56+1×56
+1×56+1×56+1×56じゃないんですか
意味不明です。1×56を9回足したものがなぜ 「1は56個、2は56個なら」になるのか補足欄へどうぞ。

ただ単に混乱しているだけでしょう。

数を減らして、全部書き出してみましょう。
1から9だと数が多くなりすぎるので、1から4の数字を並び替えて3桁の数字を作って見ましょう。これをすべて羅列して、筆算でそれらの和を求めることを考えます。以下に一応書き出しますが、必ず自分で書き出して確認してください。

  123
+124
+132
+134
+142
+143
+213
+214
+231
+234
+241
+243
+312
+314
+321
+324
+341
+342
+412
+413
+421
+423
+431
+432
-----

です。できる3桁の数の個数は4×3×2=24個。
これら24個の3桁の数を上のように筆算で求めようと思ったら、まず1の位の数(上の筆算の右端の列)を全部足しますよね。それをやってみてください。1の位の数を全部足すと60になるでしょう。だから、すべての数の和の1の位は0で、10の位に6繰り上がって・・・というのを小学校で習ったはずです。分からなければ、即刻退場してください。

で、1の位の数を全部足すと60になる、ということをもう少し賢く計算しよう。足そうとしている全ての数の1の位だけに注目する。1の位が「1」である数字は何個ありますか?実際に数えてみてください。6個ありますよね。なぜ6個になるか、分かりますよね。じゃあ、1の位が「2」である数字は何個ありますか?「3」は?「4」は?と見ると、「2」も「3」も「4」も6個づつあります。
もう一度まとめると、足そうとしている24個のすべての数において、1の位だけに着目とすると、「1」~「4」という数字が6回個づつ出てくる。
じゃあ、全ての数の1の位だけを足したら、いくつになりますか?
「1」が6個+「2」が6個+「3」が6個+「4」が6個
=1×6+2×6+3×6+4×6
=(1+2+3+4)×6
=10×6
=60

このような計算を「1」から「9」にして計算しているだけ。
申し訳ないが、これでもまだ分からないと言い張るなら、考えるつもりが無いとみなさざるをえない。

> なぜ2×56、9×56なんですか?公式とかあるんですか?
公式などと軽々しく口にしないで欲しい。分からない事が出てくるとすぐに公式なのかと口に出すのは、数学を理解しようとしていない人の典型と考えざるをえない。

> 一の位で1は56個、2は56個なら1×56+1×56+1×56+1×56+1×56+1×56
+1×56+1×56+1×56じゃないんですか
意味不明です。1×56を9回足したものがなぜ 「1は56個、2は56個なら」になるのか補足欄へどうぞ。

ただ単に混乱しているだけでしょう。

数を減らして、全部書き出してみましょう。
...続きを読む

Q1から9の数字を五乗してできる数字の一桁目が1から9になるのはなぜ?

暇つぶしに何気なく掛け算をしていたら発見しました
具体的には以下のようになります
(元の数字→二乗したもの→三乗したもの…の一桁目のみ表示)
1→1→1→1→1
2→4→8→6→2
3→9→7→1→3
4→6→4→6→4
5→5→5→5→5
6→6→6→6→6
7→9→3→1→7
8→4→2→6→8
9→1→9→1→9
単なる偶然なのかもしれませんが、何か意味のある現象だったらご教授お願いします。

Aベストアンサー

既に回答されていますが、とりあえず回答しておきます…;

■任意の整数 n に対し、n^5 - n が10を因数に持つことの証明。

(n^5)-n
= n{(n^4)-1}
= n{(n^2)-1}{(n^2)+1}
= n(n-1)(n+1){(n^2)+1}

よって、(n^5)-n は
 n-1
 n
 n+1
 (n^2)+1
を因数に持つ。
また、n-1 , n , n+1 は3つの連続する整数なので、その積は偶数となる。
k を整数とすると、任意の整数 n は以下のいずれかで表すことができる。
 0+5k (nを5で割った余りが0となる場合)
 1+5k (nを5で割った余りが1となる場合)
 2+5k (nを5で割った余りが2となる場合)
 3+5k (nを5で割った余りが3となる場合)
 4+5k (nを5で割った余りが4となる場合)

次のうちのいずれかが5の倍数であればよい。
 n-1
 n
 n+1
 (n^2)+1

ここで、nを5で割った余りが、0,1,4となる場合はそれぞれ、n , n-1 , n+1 が5の倍数となる。


よって、nを5で割った余りが、2,3となる場合のnについて、
(n^2)+1 が 5の倍数であることを示せばよい。

▼nを5で割った余りが 2 のとき
n = 2+5k
(n^2)+1
= { (2+5k)^2 }+1
= { 4+20k+25k^2 }+1
= 5+20k+25k^2
= 5(1+4k+5k^2)
より、nを5で割った余りが2のとき、(n^2)+1 は5の倍数となる。

▼nを5で割った余りが 3 のとき
同様に、
(n^2)+1
= { (3+5k)^2 }+1
= { 9+30k+25k^2 }+1
= 10+30k+25k^2
= 5(2+6k+5k^2)
より、nを5で割った余りが3のとき、(n^2)+1 は5の倍数となる。


全ての整数 n において、(n^5)-n の因数、
 n-1
 n
 n+1
 (n^2)+1
に、2の倍数及び5の倍数が含まれることが示されたので、
(n^5)-n が10の倍数であることが示された。■

※これは、任意の整数 n において、n^5の1桁目がnと一致することを示す。

既に回答されていますが、とりあえず回答しておきます…;

■任意の整数 n に対し、n^5 - n が10を因数に持つことの証明。

(n^5)-n
= n{(n^4)-1}
= n{(n^2)-1}{(n^2)+1}
= n(n-1)(n+1){(n^2)+1}

よって、(n^5)-n は
 n-1
 n
 n+1
 (n^2)+1
を因数に持つ。
また、n-1 , n , n+1 は3つの連続する整数なので、その積は偶数となる。
k を整数とすると、任意の整数 n は以下のいずれかで表すことができる。
 0+5k (nを5で割った余りが0となる場合)
 1+5k (nを5で割った余りが1となる場合)
...続きを読む


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