「素数は、2と3を除いて、すべて6n±1という形をしている」と何かの本で読んだ
ことがあるような気がするのですが、これは正しい(証明されている)のでしょうか?
確かに、いくつか試してみたらその通りなので、不思議に思っています。
ご存じのかた、よろしくお願いします。

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素数」に関するQ&A: 素数は無限

A 回答 (5件)

6nの形の数、は2の倍数でもあり3の倍数でもあり、素数ではありません。


6n+2=2(3n+1)なので2の倍数(n=0の時は2)
6n+3=3(2n+1)なので3の倍数(n=0の時は3)
6n+2=4(3n+2)なので2の倍数(n=0の時は2)

よって、2,3以外の素数は6n±1の形になります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
すっきりした説明で、よくわかりました。

お礼日時:2001/06/28 16:01

他の方が明確な証明をされていますので別の角度から考えますが、


例えば、素数は偶数(2を除く)ではないと言うことは理解できると
思います。つまり素数は2n+1と表現されます。
6n±1も全く同意だといえます。

6n±1であることは素数であるための必要条件です。
正直な所、必要条件なので6n±1であっても素数とは限らないので
特に役に立つものではありませんが、これから代数学を学ぶので
あれば証明の仕方を覚えておけば非常に意義深いと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。参考になりました。

お礼日時:2001/06/28 16:06

数を並べ上げて、2と3の倍数を塗りつぶすと分かりやすいと思いますよ。



1 ● ● ● 5 ● 7 ● ● ● 11 ● 13 ● ● ● 17 ● 19 ● ● ● ・・・

当たり前ですが、
● 数 ● ● ● 数
↑             ↑
6の倍数         6の倍数
の繰り返しになります。

素数である可能性の残っている「数」の部分は、必ず「6の倍数」の隣にいますから、「6n±1」で表せるのです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
確かに図で書くとわかりやすいですね。参考になりました。

お礼日時:2001/06/28 16:04

nを自然数として


(1)  6n が素数でないのは自明.
(2)  6n±2 = 2(3n±1)
(3)  6n±3 = 3(2n±1)
から,素数は 6n±1 に限られるのは明らかでしょう.

この分類に含まれないのは2だけですね.

また,(3)の 6n-3 の方で,n=1 のとき(つまり,3)は
2n-1 = 1 となってしまいますから,これも別に扱わないといけません.
これ以外は,3n±1 および 2n±1 は2以上の自然数になります.
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この回答へのお礼

ありがとうございました。よくわかりました。

お礼日時:2001/06/28 16:02

『2と3以外の素数は、6で割ると余りは1か5となる』


言い換えると『2と3以外の素数は、6m±1となる』
なんだか難しそうだが、『2と3以外の素数は、2の倍数でも3の倍数でもない』
という簡単な事実を数学的に表現しているに過ぎない。

と言う文が参考資料の中にありました。
素数について色々ありましたので、
一度見てみてください。

参考URL:http://www.yin.or.jp/user/ushioku/hide/mathlib2/ …
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この回答へのお礼

ありがとうございました。大変参考になりました。

お礼日時:2001/06/28 16:00

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ネット上にいくつかありました。
(11~103)
http://homepage2.nifty.com/takeshin/information/karan_koron.htm
(2~29)
http://www1.kcn.ne.jp/~zubat/seisuuseisitu/seisitu5.htm

ただちょっと分かりづらいような気がしたので、自分で作ってみました。

生き別れた母からの手紙は届かず、父親や兄弟とも死別し、妻も無く会社倒産のあおりで職も失った29歳男性の悲哀を頭に思い浮かべながら覚えてください。

文(ふみ)来ない(2,3,5,7,11)
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逝く兄さん(19,23)
29歳身無し人(29,31,37,41)
嫁は至難(43,47)
この身は困苦(53,59)
無為なろくでなし(61,67)
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苦難の日々(97,101)

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数式 F(±1, ±1, ±1)=constant の意味は,
F(α,β,γ)=constant,α=±1, β=±1, γ=±1 ということで,constant は実数の定数です.

α,β,γ は,以下の規則(1),(2),(3),(4)に従って,1 または,-1 の値を取ります.

(1): α=1, β=1, γ=1.
(2): α=1, β=1, γ=-1.
(3): α=1, β=-1,γ=-1.
(4): α=-1,β=-1,γ=-1.

α,β,γ の符号のみを書き並べると,

(5): [α β γ]
(6): [+ + +]
(7): [+ + -]
(8): [+ - -]
(9): [- - -]

となります.
(1),(2),(3),(4) のどの場合でも,F(α,β,γ)=constant が成り立つ関数 F を求めて下さい.
なお,(1),(2),(3),(4) で,それぞれ異なった constant でもよいのですが,
できれば,(1),(2),(3),(4) のすべてで同じ constant になる関数を求めて下さい.

例1.a(α^2)+b(β^2)+c(γ^2) = a+b+c. a,b,c ∈ R(実数)
例2.(αβγ)^2 = 1

数式 F(±1, ±1, ±1)=constant の意味は,
F(α,β,γ)=constant,α=±1, β=±1, γ=±1 ということで,constant は実数の定数です.

α,β,γ は,以下の規則(1),(2),(3),(4)に従って,1 または,-1 の値を取ります.

(1): α=1, β=1, γ=1.
(2): α=1, β=1, γ=-1.
(3): α=1, β=-1,γ=-1.
(4): α=-1,β=-1,γ=-1.

α,β,γ の符号のみを書き並べると,

(5): [α β γ]
(6): [+ + +]
(7): [+ + -]
(8): [+ - -]
(9): [- - -]

となります.
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「QNo.66898 元素の周期表」
 http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=66898

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 http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=83835

「QNo.291920 ちょっとHな化学記号の覚え方」
 http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=291920


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参考URL:http://www.okweb.ne.jp/index.php3

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Qa³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²)の指導

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Aベストアンサー

>mister_moonlight 先生の触発を受けて

私は、先生と言われる立場のものではありません。普通の社会人に過ぎません。
それは、ともかくとして。。。。。。

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もちろん、証明なんてわかりませんでしたが、その内容にびっくりした記憶があります。
と、同時に、数学に興味をもった発端だったように思います。
もっとも、私は最終的には、文系に進みましたが。

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参考URLを見ましょう \(^o^)/

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参考URL:http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro.html

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Aベストアンサー

ならないと思います。 

確か素数の定義は、1とその数自身に約数を持たない数でしたよね。
その定義を使ってまず、整数の範囲を証明します。

ある素数の平方根が整数になったとすると、その素数は素数の定義に反します。
なぜならば、その素数は1とその数自身以外に約数を持ってしまうからです。
つまり素数の平方根は整数でない。
これで整数の場合を証明したことになります。
今度は有理数まで範囲を拡大します。

任意の分数を

 p/q

と考えたとき、qが1にならばこの分数は整数になり、整数の範囲は先ほど証明したので、qが1以外の場合を考えます(あたりまえですが0でもありません)。
さらにこの分数は約分が終了した形であるとします、つまりpとqはお互いに素です。
もし素数の平方根が分数で表されたとすると、その分数を二乗すると素数(整数)になるはずです。
しかし、pとqはお互いに素なのでこれを二乗した

 p^2/q^2

も割り切れないため、これは整数ではありません。整数ではないということは、素数でもありません。
これで有理数全体を証明したことになります。
つまり素数の平方根は有理数の世界にはありません。
無理数ということになります。

まちがっていたらすみません。

ならないと思います。 

確か素数の定義は、1とその数自身に約数を持たない数でしたよね。
その定義を使ってまず、整数の範囲を証明します。

ある素数の平方根が整数になったとすると、その素数は素数の定義に反します。
なぜならば、その素数は1とその数自身以外に約数を持ってしまうからです。
つまり素数の平方根は整数でない。
これで整数の場合を証明したことになります。
今度は有理数まで範囲を拡大します。

任意の分数を

 p/q

と考えたとき、qが1にならばこの分数は整数にな...続きを読む


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