「素数は、2と3を除いて、すべて6n±1という形をしている」と何かの本で読んだ
ことがあるような気がするのですが、これは正しい(証明されている)のでしょうか?
確かに、いくつか試してみたらその通りなので、不思議に思っています。
ご存じのかた、よろしくお願いします。

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素数」に関するQ&A: 素数は無限

A 回答 (5件)

6nの形の数、は2の倍数でもあり3の倍数でもあり、素数ではありません。


6n+2=2(3n+1)なので2の倍数(n=0の時は2)
6n+3=3(2n+1)なので3の倍数(n=0の時は3)
6n+2=4(3n+2)なので2の倍数(n=0の時は2)

よって、2,3以外の素数は6n±1の形になります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
すっきりした説明で、よくわかりました。

お礼日時:2001/06/28 16:01

他の方が明確な証明をされていますので別の角度から考えますが、


例えば、素数は偶数(2を除く)ではないと言うことは理解できると
思います。つまり素数は2n+1と表現されます。
6n±1も全く同意だといえます。

6n±1であることは素数であるための必要条件です。
正直な所、必要条件なので6n±1であっても素数とは限らないので
特に役に立つものではありませんが、これから代数学を学ぶので
あれば証明の仕方を覚えておけば非常に意義深いと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。参考になりました。

お礼日時:2001/06/28 16:06

数を並べ上げて、2と3の倍数を塗りつぶすと分かりやすいと思いますよ。



1 ● ● ● 5 ● 7 ● ● ● 11 ● 13 ● ● ● 17 ● 19 ● ● ● ・・・

当たり前ですが、
● 数 ● ● ● 数
↑             ↑
6の倍数         6の倍数
の繰り返しになります。

素数である可能性の残っている「数」の部分は、必ず「6の倍数」の隣にいますから、「6n±1」で表せるのです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
確かに図で書くとわかりやすいですね。参考になりました。

お礼日時:2001/06/28 16:04

nを自然数として


(1)  6n が素数でないのは自明.
(2)  6n±2 = 2(3n±1)
(3)  6n±3 = 3(2n±1)
から,素数は 6n±1 に限られるのは明らかでしょう.

この分類に含まれないのは2だけですね.

また,(3)の 6n-3 の方で,n=1 のとき(つまり,3)は
2n-1 = 1 となってしまいますから,これも別に扱わないといけません.
これ以外は,3n±1 および 2n±1 は2以上の自然数になります.
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この回答へのお礼

ありがとうございました。よくわかりました。

お礼日時:2001/06/28 16:02

『2と3以外の素数は、6で割ると余りは1か5となる』


言い換えると『2と3以外の素数は、6m±1となる』
なんだか難しそうだが、『2と3以外の素数は、2の倍数でも3の倍数でもない』
という簡単な事実を数学的に表現しているに過ぎない。

と言う文が参考資料の中にありました。
素数について色々ありましたので、
一度見てみてください。

参考URL:http://www.yin.or.jp/user/ushioku/hide/mathlib2/ …
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この回答へのお礼

ありがとうございました。大変参考になりました。

お礼日時:2001/06/28 16:00

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QF(±1,±1,±1)=constantを求む!

数式 F(±1, ±1, ±1)=constant の意味は,
F(α,β,γ)=constant,α=±1, β=±1, γ=±1 ということで,constant は実数の定数です.

α,β,γ は,以下の規則(1),(2),(3),(4)に従って,1 または,-1 の値を取ります.

(1): α=1, β=1, γ=1.
(2): α=1, β=1, γ=-1.
(3): α=1, β=-1,γ=-1.
(4): α=-1,β=-1,γ=-1.

α,β,γ の符号のみを書き並べると,

(5): [α β γ]
(6): [+ + +]
(7): [+ + -]
(8): [+ - -]
(9): [- - -]

となります.
(1),(2),(3),(4) のどの場合でも,F(α,β,γ)=constant が成り立つ関数 F を求めて下さい.
なお,(1),(2),(3),(4) で,それぞれ異なった constant でもよいのですが,
できれば,(1),(2),(3),(4) のすべてで同じ constant になる関数を求めて下さい.

例1.a(α^2)+b(β^2)+c(γ^2) = a+b+c. a,b,c ∈ R(実数)
例2.(αβγ)^2 = 1

数式 F(±1, ±1, ±1)=constant の意味は,
F(α,β,γ)=constant,α=±1, β=±1, γ=±1 ということで,constant は実数の定数です.

α,β,γ は,以下の規則(1),(2),(3),(4)に従って,1 または,-1 の値を取ります.

(1): α=1, β=1, γ=1.
(2): α=1, β=1, γ=-1.
(3): α=1, β=-1,γ=-1.
(4): α=-1,β=-1,γ=-1.

α,β,γ の符号のみを書き並べると,

(5): [α β γ]
(6): [+ + +]
(7): [+ + -]
(8): [+ - -]
(9): [- - -]

となります.
(1),(2)...続きを読む

Aベストアンサー

> (1),(2),(3),(4) で,それぞれ異なった constant でもよいのですが,

は幾ら何でも冗談ですよね。

じゃんけんぽん。

  F = αβ+βγ-αγ

Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)

Q±と±の差の個数

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±の記号は上は上同士、下は下同士で計算します。ですからこれが逆になった記号もあります。

Qa³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²)の指導

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 a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²)の形の因数分解公式についてですが,教科書では暗記させようとしかしておりません。次のように指導すべきだと思いますがいかがでしょうか。
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a³-b³=a³-3a²b+3ab²-b³+3a²b-3ab²=(a-b)³+3ab(a-b)=(a-b){(a-b)²+3ab}=(a-b)(a²+ab+b²)

Aベストアンサー

>mister_moonlight 先生の触発を受けて

私は、先生と言われる立場のものではありません。普通の社会人に過ぎません。
それは、ともかくとして。。。。。。

その因数分解は(私が高校生だったのは、20年近く前ですが。。。。w)確か、“パスカルの三角形”から教えられた記憶があります。
授業で教えられたか、当時使っていた参考書(=黒大数)か、記憶は定かではありませんが。
もちろん、証明なんてわかりませんでしたが、その内容にびっくりした記憶があります。
と、同時に、数学に興味をもった発端だったように思います。
もっとも、私は最終的には、文系に進みましたが。

パスカルの三角形は、いろいろと有効ですし、数学の奥の深さを知る一端にもなるように思います。
知的好奇心を沸かせるものですが、全ての高校生にbetterとは思いませんが、そんな方法もどうでしょうか?

Q素数の平方根はすべて無理数ですか?

答えも知りたいですが、答えにたどり着くまでの道筋をご説明願えればありがたいのですが・・・よろしくおねがいいたします。

Aベストアンサー

ならないと思います。 

確か素数の定義は、1とその数自身に約数を持たない数でしたよね。
その定義を使ってまず、整数の範囲を証明します。

ある素数の平方根が整数になったとすると、その素数は素数の定義に反します。
なぜならば、その素数は1とその数自身以外に約数を持ってしまうからです。
つまり素数の平方根は整数でない。
これで整数の場合を証明したことになります。
今度は有理数まで範囲を拡大します。

任意の分数を

 p/q

と考えたとき、qが1にならばこの分数は整数になり、整数の範囲は先ほど証明したので、qが1以外の場合を考えます(あたりまえですが0でもありません)。
さらにこの分数は約分が終了した形であるとします、つまりpとqはお互いに素です。
もし素数の平方根が分数で表されたとすると、その分数を二乗すると素数(整数)になるはずです。
しかし、pとqはお互いに素なのでこれを二乗した

 p^2/q^2

も割り切れないため、これは整数ではありません。整数ではないということは、素数でもありません。
これで有理数全体を証明したことになります。
つまり素数の平方根は有理数の世界にはありません。
無理数ということになります。

まちがっていたらすみません。

ならないと思います。 

確か素数の定義は、1とその数自身に約数を持たない数でしたよね。
その定義を使ってまず、整数の範囲を証明します。

ある素数の平方根が整数になったとすると、その素数は素数の定義に反します。
なぜならば、その素数は1とその数自身以外に約数を持ってしまうからです。
つまり素数の平方根は整数でない。
これで整数の場合を証明したことになります。
今度は有理数まで範囲を拡大します。

任意の分数を

 p/q

と考えたとき、qが1にならばこの分数は整数にな...続きを読む


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