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「素数は、2と3を除いて、すべて6n±1という形をしている」と何かの本で読んだ
ことがあるような気がするのですが、これは正しい(証明されている)のでしょうか?
確かに、いくつか試してみたらその通りなので、不思議に思っています。
ご存じのかた、よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

他の方が明確な証明をされていますので別の角度から考えますが、


例えば、素数は偶数(2を除く)ではないと言うことは理解できると
思います。つまり素数は2n+1と表現されます。
6n±1も全く同意だといえます。

6n±1であることは素数であるための必要条件です。
正直な所、必要条件なので6n±1であっても素数とは限らないので
特に役に立つものではありませんが、これから代数学を学ぶので
あれば証明の仕方を覚えておけば非常に意義深いと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。参考になりました。

お礼日時:2001/06/28 16:06

数を並べ上げて、2と3の倍数を塗りつぶすと分かりやすいと思いますよ。



1 ● ● ● 5 ● 7 ● ● ● 11 ● 13 ● ● ● 17 ● 19 ● ● ● ・・・

当たり前ですが、
● 数 ● ● ● 数
↑             ↑
6の倍数         6の倍数
の繰り返しになります。

素数である可能性の残っている「数」の部分は、必ず「6の倍数」の隣にいますから、「6n±1」で表せるのです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
確かに図で書くとわかりやすいですね。参考になりました。

お礼日時:2001/06/28 16:04

nを自然数として


(1)  6n が素数でないのは自明.
(2)  6n±2 = 2(3n±1)
(3)  6n±3 = 3(2n±1)
から,素数は 6n±1 に限られるのは明らかでしょう.

この分類に含まれないのは2だけですね.

また,(3)の 6n-3 の方で,n=1 のとき(つまり,3)は
2n-1 = 1 となってしまいますから,これも別に扱わないといけません.
これ以外は,3n±1 および 2n±1 は2以上の自然数になります.
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この回答へのお礼

ありがとうございました。よくわかりました。

お礼日時:2001/06/28 16:02

6nの形の数、は2の倍数でもあり3の倍数でもあり、素数ではありません。


6n+2=2(3n+1)なので2の倍数(n=0の時は2)
6n+3=3(2n+1)なので3の倍数(n=0の時は3)
6n+2=4(3n+2)なので2の倍数(n=0の時は2)

よって、2,3以外の素数は6n±1の形になります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
すっきりした説明で、よくわかりました。

お礼日時:2001/06/28 16:01

『2と3以外の素数は、6で割ると余りは1か5となる』


言い換えると『2と3以外の素数は、6m±1となる』
なんだか難しそうだが、『2と3以外の素数は、2の倍数でも3の倍数でもない』
という簡単な事実を数学的に表現しているに過ぎない。

と言う文が参考資料の中にありました。
素数について色々ありましたので、
一度見てみてください。

参考URL:http://www.yin.or.jp/user/ushioku/hide/mathlib2/ …
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この回答へのお礼

ありがとうございました。大変参考になりました。

お礼日時:2001/06/28 16:00

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