割り算の分配法則について質問されたら？

中学生１年生に割り算の分配法則（添付画像）について、「何故こうなるのでしょうか？」と質問されたら、どのように説明するのがベストなのでしょうか？

No.11 ベストアンサー 回答者： puyo3155 回答日時： 2017/04/08 20:33

法則に理屈をつけて理解させるのは、間違いだと個人的に思っています。

・　まず、法則として覚えさせる。
・　感覚が身につく
・　あとで、意味がわかる

って言うのが大切です。抽象的な法則や公式は、抽象的なゆえに、実例を伴わず、感覚が得にくいもの。
丸暗記して、計算が解けるようになってから、本当はこういう意味なんだ・・・って覚えるのが本質。

高等教育では、みんな自然にそうやっている。物理学の最先端だって、使えるものが使った後、問題が
とけらたら、本質の意味を問い直す。そんなアタリマエのことが、なぜか、意味を考えましょう・・・
になってしまう。変な話です。

難問も問題を解いていけば、大きさの違うピザを、

・別々の皿で等分して、それぞれからもらっても、
・２枚重ねて、等分しても

もらう量は同じだよね・・・・とか、自然に意味がついてくるものです。

掛け算に言い換えると、カッコでくくれる話と同じだとかもありですが、ではなぜ、掛け算ではカッコでくくれるか？
証明になっていませんね。どこまでを前提として、どこからを応用とするか、実は微妙なのです。

専門家でもない限り、まずは暗記と、練習問題による経験。暗記や詰め込みはよくない・・・って、勉強をしたことがない人の意見です。
暗記や、つめこみのなかで、自分が感覚的に見出したものが、本当の考えるもとになる、知識や知力になります。

No.10 回答者： asdffafa00 回答日時： 2017/04/08 07:30

感覚的に教えるだけなら

分母が同じ場合の分子は足すことができる
６等分したケーキを２切れと３切れを足したら、ケーキは5/6の大きさになる

分子が同じ場合の分母は足すことが出来ない
ケーキを1/2とケーキ1/3の合計は1/5ではない

というのはどうでしょうか

No.9 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2017/04/07 10:32

最も大事なところが抜け落ちている。

中学一年の最初の最初・・命ともいえる大事なところが抜けている。
　算数から数学に変わった最初に、
引き算と割り算が無くなりましたよね。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　2-3ではなく、2+(-3)、2÷3 (2/3)ではなく、2×(1/3)
それによって、すべての数（未知数でも）に交換、結合、【分配】ができるようになりました。
　2 - 3 ≠ 3 - 2 だけど、(+2) + (-3) = (-3) + (+2)
　2 / 6 ≠ 6 / 2 だけど、2 × (1/6) = (1/6) × 2
これは代数の最も重要な基礎。これがあって初めて、交換、結合、分配ができる。

(a + b)/c とは、(a + b)(1/c) ですから、もちろん
(1/c)(b + a) と交換も、分配もできる。
(a + b)/c
= (a + b)(1/c)
= a×(1/c) + b(1/c)　<-- まさに分配でしょ!!ここがポイント
　「なぜ、交換や結合や分配ができるか」それは、割り算(分数)を掛け算とみなせるからですね。

大事なことは、引き算、割り算(分数)を、足し算、掛け算に置き換えるという基礎をきちんと指導すること。

No.8 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/06 11:39

a/c = x , b／c= y とおくと、x+y=a/c + b/c …(1)

a=c・x , b=c・y
a+b=c・x+c・y =c・(x+y)
よって
x+y=(a+b)/c …(2)
(1)，(2)より証明出来ました。

また、例えば、豆腐屋で、a個とb個の豆腐をくっ付けて、a+b
それを、c 人に分けた場合と
最初に、a個を c 人に分け、次に、b個を c 人に分けて合わせたものが同じになるのは、自明でしょう！卵と鶏のような問題でしょう！

この回答へのお礼

sc348253様

ご回答いただき、ありがとうございます。

お礼日時：2017/04/06 16:01

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2017/04/06 10:48

割り算には分配法則は通用しません。

通用する時は、割り算を逆数の掛け算にした時だけです。

A(B+C)＝AB+AC これは解りますよね。
(a+b)/c は (a+b)×1/c ということです。
ここで 1/c を d と置くと、d(a+b) になります。
d(a+b)=da+db d を元に戻して a/c+b/c 。
これで納得できますかね。

この回答へのお礼

kairou様

ご回答いただき、ありがとうございます。

お礼日時：2017/04/06 17:20

No.6 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/04/06 07:24

(a+b)/c = A と置き、a/c + b/c =B と置きます

cA=a+b , cB =a+b
したがって、cA =cB
これから、A=B 、つまり画像の関係が成り立つ事が分かります(^^)

ただし、「分配法則」自体に説明が必要ならば、具体的な数を用いて説明するか、
または、同じ意味を表すと決められていると説明するかですね(^^;)
お薦めは、具体的な数を使うことです。

分配法則があらゆる演算に対して成り立つかというと、そうではありませんね。
例えば、
c(a×b)=(ca)×(cb)
はもちろん成立しません・・・まあ、それ以前に、これは「分配法則」と呼びませんけれど(^^;)

もしかしたら、
どうして、a/c + b/c = (a+b)/(c+c) =(a+b)/2c ではないの？って話かも知れません。
まあ、これは、
(a+b)÷c と　(a+b)÷(c+c) = (a+b)÷(2c)　は違うでしょ・・・って説明すればいいと思います。

分数式の説明は面倒だと思いますが、頑張って下さいp(^^)

この回答へのお礼

ナッキーナッキー様

ご回答いただき、ありがとうございました。

お礼日時：2017/04/06 20:22

No.5 回答者： uyama33 回答日時： 2017/04/06 07:22

右辺を計算させると

(a+b)/(2c)
という計算をしてしまう人がいます。

説明としては、
１/ｃ
が何個あるかを考えると納得しやすい。
左辺は
(a+b)*(1/c) であり、1/c が a+b 個
右辺は
a*(1/c) と　b*(1/c)　の和であり、
a　個の　(1/c) と　 b個の　(1/c)　の和なので
左辺、右辺とも　(1/c)　は 　a+b 個　であり、
等しくなる。

としたら、いかがでしょうか？

この回答へのお礼

uyama33様

ご回答いただき、ありがとうございました。

お礼日時：2017/04/06 20:24

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/04/06 03:55

a,b,cに具体的な数を入れて説明して実感させる。

「何故そうなる？」と聞かれたら、｢分数をソー作ったから」と答える。

分数は定義(約束毎)から出発し、整数の分配法則も成立する様に計算規則が作られた、と説明するしか無い。

分数の定義：c倍したらaになる数をa/cと書く。
この定義を言葉で無く、式で書くと(a/c)×c=a。
同じ様に、定義そのもので、(b/c)×c=b。

この定義式の辺々を足すと(a/c)×c + (b/c)×c = a+b
分配法則を成立させると、{(a/c)+ (b/c)}×c = a+b
両辺をcで割ると、(a/c)+ (b/c) = (a+b)/c

質問の式が導かれた。

No.3 回答者： mananama77 回答日時： 2017/04/06 00:36

分配法則には

①a×(b+c)=a×b+a×c
②(a+b)×c=a×c+b×c
の2種類がありますが、割り算バージョンの場合
②しか成立しません。

ですので、(a + b)÷c = a÷c + b÷c
になります。分数の計算と考えれば良いと思います。

No.2 回答者： 大学の教員の大半要らない 回答日時： 2017/04/06 00:24

c=1の場合、c=2の場合、c=1/2の場合(a,bは適当に)を実際に解かせて見れば直感的に理解できるはずです

最終的に
a(b+c)=ab+acと本質的に同じという事を伝えれればベストかと