正12面体などの頂点の数や辺の数を求めるとき、１つの頂点に集まる面の数や１つの辺に集まる面の数が必

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質問者：kiia
質問日時：2017/05/15 11:32
回答数：2件

正12面体などの頂点の数や辺の数を求めるとき、１つの頂点に集まる面の数や
１つの辺に集まる面の数が必要なんですけど、これってどうやってわかるんですか？
計算方法とかありますか？

教えて下さい。
よろしくおねがいします。

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回答 (2件)

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No.2

回答者：お茶碗持つ方
回答日時：2017/05/15 12:03

正多面体は3次元空間の中では5つしかありません。

これを証明するために、1つの頂点に集まる面の数に注目します。

まず、最も小さい正多角形である正三角形から考えます。立体を形成するためには、最低でも3面必要であることは容易に解ると思います。

そこで、正三角形3枚を組み合わせたキャップを何個か組み立てていくと、4つで正四面体が形成されることが解ります。

同様に4枚の正三角形でピラミッド型のキャップを作り、組み合わせていくと正八面体が形成されます。

正三角形5枚なら正二十面体が形成されます。

正三角形6枚になると正六角形になり、平面化してしまうのでこれ以上の立体は形成できません。

次に正四角形、所謂正方形を考えます。3枚の正方形を組み合わせると正六面体、所謂立方体が形成されます。

正方形4枚になると大きな正方形が形成され、平面化してしまうのでこれでおしまいです。

次は正五角形。3枚でキャップを作ると、正十二面体が形成されます。

正五角形を4枚組み合わせると平面を通り越してエイのような波板になってしまいますのでこれで終わりです。

最後に正六角形。3枚で蜂の巣型の平面になってしまうので、立体は形成できません。よってこれで全ての正多面体が終了したことになります。

オイラーの法則により、

頂点の数-辺の数+面の数=2

となるので、辺の数は簡単に求められます。

１つの辺に集まる面の数? 常に2枚だと思います。

1つの頂点に集まる辺の数は、環状植木算から1つの頂点に集まる面の数と同じです。