共通解

x^4+x^3+x^2+x+a=0,x^2 + x - 1=0 が共通解をもつように　aの値を定めよ。
　　　を　イロイロな方法で　お願いします。

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/20 11:19

x^4+x^3+x^2+x+a=(x^2+xー1)(x^2+2)ーx+a+2 なので、

共通根をpとおくと、剰余= f(x)=ーx+a+2 より
f(p)=ーp+a+2=0 ∴ a=pー2 以下省略！

別解
x^4+x^3+x^2+x+a …(1)
x^2+xー1 …(2)

(x^2+xー1)^2=x^4+2x^3ーx^2ー2x+1 …(3)
x(x^2+xー1)=x^3+x^2ーx …(4)

(1)ー(3)ー(4)ー3・(2)=ーx+a+2=f(x)とおく f(p)=以下省略

No1の解答でも、(1)/(2)からでも、また
(1)=x^4+x^3+(x^2+xー1)+a +1 と変形してからはじめたらミスがないのに！

No.1 回答者： springside 回答日時： 2017/05/19 23:46

x^2+x-1=0の解をpと置くと、p^2+p-1=0

よって、p^2=-p+1

このpがx^4+x^3+x^2+x+a=0の解でもあるから、代入して、
p^4+p^3+p^2+p+a=0
となり、p^2=-p+1だから、
(-p+1)^2+p(-p+1)-p+1+p+a=0
p^2-2p+1-p^2+p-p+1+p+a=0
-p+2+a=0
a=p-2

ここで、p=(-1±√5)/2だから、
a=p-2=(-5±√5)/2