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2つの2次方程式 x^2-3x+m-1=0,x^2+(m-2)x-2=0
が共通な実数解をただ1つもつとき、mの値とその共通解を求めよ。

できれば途中式もお願いしますm(__)m

A 回答 (5件)

x^2-3x+m-1=0 …(1)


x^2+(m-2)x-2=0…(2)

(1)と(2)が共通解xをもつとすれば
その共通解は(2)-(1)から導かれる次の方程式に全て含まれる。
(m+1)(x-1)=0
m=-1のとき
 このとき(1),(2)は
  x^2-3x-2=0…(1)'
  x^2-3x-2=0…(2)'
 と一致してしまって 2実数解x=(3±√17)/2を持つから
 ただ1つの共通解を持たないので条件を満たさない。
m≠-1のとき
 共通のただ1つの実数解が存在するならx=1…(3)となる(これは必要条件)。
 このときx=1を(1),(2)に代入すると両式とも
  m-3=0 ((3)とあわせて必要十分条件)
 となるので m=3…(4) (←答え)

【確認】m=3を(1)に代入すると
 x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0 …(1)
 x^2+x-2=(x-1)(x+2)=0  …(2)
 なのでx=1がただ1つの共通実数解となることが確認できる。
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#3 の “信じられない”致命的ミスを指摘しておく。



>(1+m)x=m+1 故に x=1

(1+m)x=m+1 → (x-1)*(m+1)=0 → x-1=0、or、m+1=0。
従って、m+1=0 の場合も考えなければならない。
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共通解ということなので,x^2 を消去すると,



x^2-3x+m-1=0,
から,
x^2=3x-m+1
となります.
x^2+(m-2)x-2=0
に代入すると,
3x-m+1+(m-2)x-2=0
3x-m+1+mx-2x-2=0
x-m+1+mx-2=0
(1+m)x-m+1-2=0
(1+m)x-m-1=0
(1+m)x=m+1

故に

x=1

この x=1 を x^2-3x+m-1=0 に代入すると,
1-3+m-1=0
-3+m=0

m=3

となります.
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共通解となると、2つの方程式を足したり、引いたりする場合が多いが これはその方法でないほうがいいだろう。

それでもできるが。。。。。w

x^2-3x+m-1=0 ‥‥(1)、x^2+(m-2)x-2=0 ‥‥(2)
(1)より、m=1-x^2+3x、(2)より mx=2-x^2+2xだから、mx=x(1-x^2+3x)=2-x^2+2x。
これを整理すると、x^3-4x^2+x+2=(x-1)*(x^2-3x-2)=0

・x-1=0のとき、m=3だから、(1)の解は 1と2.(2)の解は、1と -2 だから条件を満たす。
・x^2-3x-2=0の時、m=-1 となり (1)と(2)の方程式は一致するから、“共通な実数解をただ1つもつ”という条件に反するから不適。

以上から、m=3で共通解は1.
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x^2-3x+m-1=0


x^2-3x+9/4=-m+1+9/4
(x-3/2)^2=(-4m+13)/4
x-3/2=±√(-4m+13)/2
x={3±√(-4m+13)}/2


x^2+(m-2)x-2=0
x^2+(m-2)x+(m-2)^2/4=2+(m-2)^2/4
{x+(m-2)/2)^2=(m^2-4m+12)/4
x+(m-2)/2=±√(m^2-4m+12)/2
x={-m+2±√(m^2-4m+12)}/2

----

{3±√(-4m+13)}/2={-m+2±√(m^2-4m+12)}/2
3±√(-4m+13)=-m+2±√(m^2-4m+12)
m-1±√(-4m+13)=±√(m^2-4m+12)
m^2-2m+1-4m+13±2(m-1)√(-4m+13)=m^2-4m+12
±2(m-1)√(-4m+13)=2m-2
±√(-4m+13)=1
-4m+13=1
-4m=-12
m=3

x^2-3x+2=0
(x-2)(x-1)=0
x=1,2

x^2+x-2=0
(x+2)(x-1)=0
x=-2,1

m=3
共通解 x=1
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