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lim[θ→0]θ/tanθ=1の証明が分かりません。
回答の程宜しくお願い致します。

A 回答 (3件)

いろいろな考え方で、解いてみます。

(ちょっと無理があるかも?)
 基礎知識は ・中間値の定理
       ・tanΘが連続で(tanΘ)'=1/(CosΘ)^2 となること。かな。

 lim[θ→0]θ/tanθ において、θ→0の状態でΘ≠0だから分母分子をΘで割って
 lim[θ→0]θ/tanθ=lim[θ→0]1/(tanθ/Θ) の繁分数にすると分子は常に1だから分母の(tanΘ)/Θ に注目して
 分母: lim[θ→0]tanθ/Θ を解くf(Θ)=tanΘとする。f(Θ)は連続で0近傍で微分可能
   中間値の定理より
          (f(Θ)-f(0))/(Θ-0) とすれば(f(Θ)-f(0))/(Θ-0)=f'(α)となるαが存在する。(ただし0<α<Θ)
この状態でθ→0とするからα→0となるのでlim[θ→0]tanθ/Θ=lim[θ→0](f(Θ)-f(0))/(Θ-0)
            =lim[θ→0]f'(α)=lim[α→0]f'(α)=lim[α→0]{1/(Cosα)^2}=1
よって分母も1だからlim[θ→0]θ/tanθ=1が言える。
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この回答へのお礼

丁寧にありがとうございました!

お礼日時:2017/06/15 23:01

ロピタルの定理を使ってよいなら



分子のθでの微分は 1
分母のθでの微分は 1/(cosθ)^2

従ってロピタルの定理からθ→0 での極限値は 1
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この回答へのお礼

丁寧にありがとうございました

お礼日時:2017/06/15 23:01

扇形を使った証明が色々な参考書に載ってるので、ここでは別の方法で。



①lim(θ→0)(sinθ/θ)=1を使うから、先ずはこれを証明。

(sinθ)′=cosθである事が既知とした前提で。

微分を定義の形に戻して,θ に 0 を代入する。
lim(t→0) {sin(θ+t)}/(θ+t) = cosθ ・・・・微分の定義式

このθ に0を代入するとlim(t→0) {sin(t)}/t = cos0=1

②本題
tanθ=sinθ/cosθだから

lim[θ→0] θ/tanθ=lim[θ→0] (θ/sinθ)・cosθ=

lim[θ→0] {1/(sinθ/θ)}・cosθ=(1/1)・cos0=1・1=1
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この回答へのお礼

丁寧にありがとうございました!

お礼日時:2017/06/15 23:01

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