四変数ABCDの排他的論理和の求め方を教えてください！お願いしますm(_ _)m

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質問者：abcc_z
質問日時：2017/06/06 11:06
回答数：5件

四変数ABCDの排他的論理和の求め方を教えてください！
お願いしますm(_ _)m

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No.5ベストアンサー

回答者： stomachman
回答日時：2017/06/08 07:46

排他的論理和を"+"のような演算記号（たとえば"●"）で表すとして「四変数ABCDの排他的論理和」が

　　A●B●C●D
を指しており、さらにこれを最もフツーに
　　((A●B)●C)●D
のことだと解釈すれば、つまり
　　(((AとBの排他的論理和)とCの排他的論理和)とDの排他的論理和）
ということであろう。

　さて、
[1] 排他的論理和は「繰り上がり」や「繰り下がり」がない。だから、A,B,C,Dを2進数で表しておいて、各桁ごとに演算すれば良い。もちろん、j桁目(1≦j≦n)は0か1である。それをA[j], B[j], C[j], D[j]で表すと、たとえばA[j]とB[j]の排他的論理和は
　　A[j]●B[j] = (A[j]=B[j]ならば0, A[j]≠B[j]ならば1)
である。そして
　　A[j]●B[j]●C[j] = ((A[j]●B[j])=C[j]ならば0, (A[j]●B[j])≠C[j]ならば1)
であり、
　　A[j]●B[j]●C[j]●D[j] = ((A[j]●B[j]●C[j])=D[j]ならば0, (A[j]●B[j]●C[j])≠D[j]ならば1)
である。A[j], B[j], C[j], D[j]の組み合わせは(0,0,0,0)から(1,1,1,1)まで、たった16通りしかないんで、実際に手を動かしてやってみれば良いだけの事。つまりNo.2の仰る通りです。

　が、
[2] もうちょっと要領よくもやれます。すなわち、４変数に限らず何変数であろうとも
　　A[j]●B[j]●…●Z[j] = (「A[j],B[j],…,Z[j]のうち1であるものの個数」が偶数なら0, 奇数なら1)
である。

　なぜこれで計算できるのか。まずは、実際に手を動かしてこつこつ出した[1]の計算結果を調べて、「少なくとも４変数の場合にはそうなっている」ということを確かめて戴きたい。[2]をきちんと証明するには、変数の個数が2個の場合、3個の場合、…について、数学的帰納法を使います。

　ところで、答は、もちろん、No.1,やNo.3が主張するのとは全然違います。