線形代数

次の行列式を求めよ。
｜０００１｜
｜００１０｜
｜０１００｜
｜１０００｜



自分はこの問題を、
｜A｜＝∑ε(p1 p2 p3 p4)×a4p1× a3p2× a3p2× a1p4
(p1 p2 p3 p4)←∑の下に書いてある
　　　＝1
と解説されました。どういうことかよくわかりません。

シグマに続くε(p1 p2 p3 p4)は行列の符号を表すらしいのですが、ピンときません。
その後に続く掛け算はなんですか？
∑の下にある (p1 p2 p3 p4)のいみは？

詳しく教えて下さい。(´・ω・｀)

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/06/17 15:15

ε は レヴィ=チヴィタ記号とか、エディントンのイプシロン　とか呼ばれる関数で、0, -1, 1 だけを返す関数です。

似たような関数に、δ関数が有名ですね。

ε が5個の引数を取る場合、それは 1～５の整数値だけを受け取ります。

ε(a, b, c, d, e) で,a, b, c, d, e の中に同じ数値が2個以上含まれるばあい場合 ε は 0 を返します。
つまり、a, b, c, d, e が, 1, 2, 3、4、５をひとつづつ含む場合だけ εは -1, 1 を返します。

εが返す値は、a, b, c, d, e の数の順を 1, 2, 3, 4, 5 に直すのに必要な「交換」の数 で -1 をべき乗したものです。

例えば

(5, 4, 3, 2, 1) →　１と5 を交換 →(1, 4, 3, 2, 5) → 4と2 を交換 → (1, 2, 3, 4, 5)

この問題では、引数は4個なので (4, 3, 2, 1) →(1, 3, 2, 4)→ (4, 3, 2, 1) だから ε(4, 3, 2, 1) = 1 ですね。

>a4p1× a3p2× a3p2× a1p4

この表記、意味が分かりませんが、A の成分を aij とすると(i: 行、j: 列)
det(A) = Σ ε(i, j, k, l)a1i, a2j, a3k, a4l=1 x (a14 x a23 x a32 x a41) = 1
#Σはi, j, k, l(1～4)のすべての組み合わせで足しこむことを意味する)

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/06/15 22:32

#1です。

ミスがありましたので修正。
>ε_4321=-1 (1と4を入れ替える、2と3を入れ替えると1234となる、2回の入れ替えで1234となるのでこれは1234の偶置換)
ε_4321=1
の間違いです。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/06/15 09:53

ε_ijklは次のようなものを表します。

先ず、i,j,k,lは1～4の整数のいずれかの値をとります。
i,j,k,lのうち同じ数字が一つでもあればε_ijkl=0
i,j,k,lが全て異なる数字であるときは次の規則で決まります。
i,j,k,lが1,2,3,4の偶置換であるときε_ijkl=1
i,j,k,lが1,2,3,4の奇置換であるときε_ijkl=-1

(例)
ε_1123=0
ε_4321=-1 (1と4を入れ替える、2と3を入れ替えると1234となる、2回の入れ替えで1234となるのでこれは1234の偶置換)
ε_2341=-1 (4と1を入れ替え、3と1を入れ替え,2と1を入れ替えると1234となる、3回入れ替えているので奇置換)

次にシグマの下のp1 p2 p3 p4ですが、これは全てのp1,p2,p3,p4の組合せについて足し合わせるということを意味します。
4×4行列の成分を表していますのでp1,p2,p3,p4は1～4の整数をとり得ます。
このすべてのパターン(1,1,1,1),(1,1,1,2),...,(4,4,4,4)についてΣの後ろの式を計算した結果を全て足し合わせろ、という意味です。