微分方程式

y'=sin(x+y) を解いたところ、x+2/(1+tan(x/2+y/2))=C （Cは任意定数）
となったのですが、答えと合いません。
どこが違うかお教えください。とりあえず、正解は伏せておきます。

質問者からの補足コメント

• さっそく回答をいただきありがとうございます。
  でも、rabbit_cat さんの答えだと、微分すれば
  1/(1+sin z) となるのではないでしょうか。
  私の知っている答とも違っています。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/06/28 07:04

• 

  また、最初に私が導いた -2/(1+tan(z/2)) も微分すれば、
  1/(1+sinz) となるようです。2/(1+cot(z/2))　と-2/(1+tan(z/2))では
  全く異なると思われるのに導関数が同じであるのは不思議です。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/06/28 10:25

• 説明不足と勘違いがありました。
  x+y=z と置き換えてやると、微分方程式は
  dz/dx=1+sinz となります。
  だから、微分して1+sinz となる関数f(z)を求めることに帰着します。
  上記の答えはいずれも 1/(1+sinz) となるので不正解でした。失礼しました。

    補足日時：2017/06/28 10:38

• 関数 f(z)という表現は不適切でした。
  zを含む方程式あるいは陰関数というべきでした。

    補足日時：2017/06/28 10:44

• 何度も勘違いしてすみません。
  dz/(1+sinz)=dx ですから、やはり
  1/(1+sinz) の積分を求めることに帰着します。

    補足日時：2017/06/28 10:53

• tan(z/2-pi/4)も微分すると確かに1/(1+sinz)となりますね。
  だから、これまでの３つの解答はすべて、与えられた微分方程式の解になるということですね。
  でも、どの解答も変形しても同じにならないのですっきりしない感じです。
  定数違いでなく、関数自体が異なるのはどういうことなのでしょうか。
  この辺の事情をお分かりになればお教えください。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/06/28 16:28

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2017/06/28 02:11

z = x +y と置けば、

z' = sin(z) + 1
z = 2/(1+cot(z/2)) + C
より
x + y = 2(1 + cot(x/2 + y/2)) + C

おそらく、惜しいところまではいってるんだろうけど、単純なケアレスミスかな。

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2017/06/28 08:49

＃１は、

間違っていますね。

z' = sin(z) + 1

z'/(sin(z)+1) = 1
で両辺をxで積分して、
2/(1+cot(z/2)) = x + C

ということで、
2/(1 + cot(x/2 + y/2)) = x + C
ですかね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。私もそのようになると思います。
しかし、答は tan(x/2+y/2-pi/4)=x+C というものでした。
これを変形しても同じになりません。答が間違っているのでしょうか。

お礼日時：2017/06/28 09:03

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/06/28 12:18

tan(x/2+y/2-pi/4)=x+C

と
2/(1 + cot(x/2 + y/2)) = x + C
は, 微分方程式の答えとしては同じだよ.

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/06/28 18:04

「微分すると同じ関数になる」ことから「定数だけの差である」という可能性が考えられる.

実際加法定理を使うと tan (t - π/4) = (tan t - 1)/(1 + tan t) だけど, この両辺に 1 を加えると
tan (t-π/4) + 1 = (2 tan t)/(1 + tan t) = 2/(1 + cot t)
であることがわかる. 同じように両辺から 1 を引くと
tan (t-π/4) - 1 = -2/(1 + tan t)
だね.

このように, 微分方程式の一般解として三角関数が現れると, そこに含まれる積分定数の置き方によって全く違う形の式になってしまうことがあるので注意が必要.

この回答へのお礼

定数差では式の形は変わらないとの固定観念がありました。
納得しました。大変ありがとうございました。

お礼日時：2017/06/28 18:51

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/06/28 18:51

あ, 言葉がおかしかった.

念のため明確にしておくけど, もちろん「三角関数が出てこなければ積分定数をどのようにおこうと式の形は変わらない」というわけではないです. 定数の違いが結果としての関数形に影響することはほかの場合でもあるけど, 特に三角関数を含む場合には顕著に違うことがあるよ, と言いたかっただけです.

有名だから意識しないかもしれないけど
y = tan^2 x + C
y = sec^2 x + C
も「見た目が違う」といえば違うしね.

この回答へのお礼

どちらも微分すると同じですね。ご助言をいただき感謝します。

お礼日時：2017/06/28 18:58