経済学の質問

Question

資本と労働のみによって生産を行っている経済を考える。
自然災害が発生し、労働には影響がなかったが、大量の資本が破壊された。
この災害によって資本の収益率と賃金率はどのように変化するか。
また、その後これら変数は時間とともにどのように変化するか。
ソローモデルを用いて説明しなさい。

また、上記の問題に関連してですが、ソローモデルでは減耗率δが存在するときf'(k)=n+δ(資本の限界生産性=人口成長率+減耗率)となるようですが、利潤最大化条件を用いて資本の限界生産性を表すときに費用の部分にδを含めるか否かに関して授業と教科書で異なっているのですが普通は含めるのでしょうか？(含めるとするとP=1と仮定すればr=nになりますが・・・)
問題の解答と疑問の解説をしてくださる方がおられましたらよろしくお願いします。

gootarohanako · Accepted Answer

>０＝∂Π/∂K= L[(f'(k)(-K/L^2 ) - (r+δ)(-K/L^2)] =f'(k)k - (r+δ)k に関してですがf'(k)(-K/L^2 )の部分がわかりません。∂y/∂k・∂k/∂Kでf'(k)(1/L)だと考えてしまいます。

おっしゃる通りです。

Π=F(K,L) - (r+δ）K - wL = L(f(k) - (r+δ)k - w)
をKで微分すると、

∂Π/∂K＝L[f'(k)(１/L) -(r+δ)(1/L)] =f'(k) - (r+δ)

とするのが正しい。No2の∂Π/∂Kの値は間違っています。なお、∂Π/∂Lのほうは合っています。

gootarohanako · Answer

>・k^<k~<k*の場合？
当初の資本k^の一部が破壊されたのに、それよりも大きくなるとはどういうこと？
k~<k^<k*とk~<k*<k^の２つの場合しかないのでは？

と書きましたが、
k~<k^<k*, k~<k*<k^, そしてk*<k~<k^の3つの場合しかないのでは？
と直してください。要するに、k~<k^の大小関係を維持した上で、k*との関係で上の３つの場合があり得る、ということです。

なお、長期均衡においてf'(k*)≧n+δが成り立つ可能性もあるし、f'(k*)<n+δが成り立つ可能性もある。後者が成り立つなら、その長期均衡はパレート不効率であるといえる。

gootarohanako · Answer

>ソローモデルは離散時間のモデルで習いました。
w*＝y*-k*f'(k*)はどのように導出するのでしょうか？
また、こういった問題ではk^<k~<k*の場合も書いたほうがよいのでしょうか？
教科書では黄金水準f'(k)=n+δとされており、資本の限界生産性よりf'(k)=r+δなのでｒ＝ｎが成立するのかな、という意図の質問でした。

・企業は利潤Πは

Π=F(K,L) - (r+δ）K - wL = L(f(k) - (r+δ)k - w)

だから、Π最大化の一階の条件は両辺をKとLで微分して０とおくとそれぞれ

０＝∂Π/∂K= L[(f'(k)(-K/L^2 ) - (r+δ)(-K/L^2)] =f'(k)k - (r+δ)k 
0 = ∂Π/∂L = (f(k) - (r+δ)k - w) + L[f'(k)(-K/L^2) - (r+δ)(-K/L^2)] = f(k) - w - f'(k)k

となる。よって

r+δ = f'(k)
w = f(k) - f'(k)k

を得る。微分にあたって、k=K/Lに注意し、「合成関数の微分」の公式を用いる。

・k^<k~<k*の場合？
当初の資本k^の一部が破壊されたのに、それよりも大きくなるとはどういうこと？
k~<k^<k*とk~<k*<k^の２つの場合しかないのでは？

・教科書では黄金水準f'(k)=n+δとされており、資本の限界生産性よりf'(k)=r+δなのでｒ＝ｎが成立するのかな、という意図の質問でした。
黄金水準のｋをｋ\、そのときの資本レンタルをr\と書くと、f(k￥) = n+δ、ｆ(k\)=r\+δだからから、もちろん、r\ =nは成り立ちますが、それと「P=1と仮定する」こととなんの関係があるのですか？

gootarohanako · Answer

ソローモデルは離散時間のモデル（差分方程式のシステム）でも、連続時間モデル（微分方程式のシステム）でも表わされますが、どちらのモデルで学びました？

Y = F(K,L)
y =Y/L
k = K/L
y =F(K/L,1)=f(k)
L(t+1)/L(t)=1+n

等の記号で用いて書くと, 離散型時間のソローの動学的均衡は所与のk(0)＝k^から出発し

k(t+1) - k(t) = [1/(1+n)][sf(k(t) -(1+n+δ）k(t)]

を満たすk(t)の（現時点t=0から将来）へ系列で表わされることはよいでしょうか？長期均衡（steady state)
は

sf(k) =(1+n+δ)k

を満たすk=k*である。よって長期均衡は初期値ｋ(0)の値に依存しないことに注意。いま、現時点ｔ＝０の資本k(0)=k^の一部が破壊され、

k~ < k^

になったとしよう。長期均衡k*は初期値の値には依存しないから、長期均衡(一人当たり消費c*、利子率r*＝f'(k*)-δ、w*＝y*-k*f'(k*)）は資本の破壊があってもなくても変わらない。しかし、長期均衡への移行過程は同じでない。いま、k^>k*だったとすると、初期値k^は長期均衡k*より高い値だったので、k(t)は減少しながら、k*へ収束していく。いま、資本の一部が破壊され、k~＜k*とするなら、k(t)はk*へ増加しながら近づいていくことになる。では現時点「ｔ＝０」の利子率、賃金はどうなるか？

r (0) =f'(k(0))-δ
w(0)= f(k(0)) - k(0)f'(k(0))

より、資本破壊がなかった場合より利子率は高くなり、賃金率は低くなる。f'(k)>0、f"(k)<0なので、f'(k)はkの減少関数であり、f(k)-kf'(k)はｋの増加関数であることに注意。

>利潤最大化条件を用いて資本の限界生産性を表すときに費用の部分にδを含めるか否かに関して授業と教科書で異なっているのですが普通は含めるのでしょうか？(含めるとするとP=1と仮定すればr=nになりますが・・・)

企業は利潤Π

Π=F(K,L) - (r+δ）K - wL = L(f(k) - (r+δ)k - w)

と書くのが普通で、δは費用の一部に含める。そのあとあなたの質問「(含めるとするとP=1と仮定すればr=nになりますが・・・)」というのは何のこと？このステートメントは理解不能だ。ソローモデルでは、アウトプットであるこのモデルの財の価格をニュメレールにとるので、その意味でP=1です。しかし、一般に黄金律ｒ＝ｎは均衡において成立しない。

＊＊＊あなたには以前ここで(↓）回答したことがあるが、あの質問は理解できたのだろうか？上の問題も途中で投げ出さないで最後までつきあってくださいな！

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9291411.html

経済学の質問

>０＝∂Π/∂K= L[(f'(k)(-K/L^2 ) - (r+δ)(-K/L^2)] =f'(k)k - (r+δ)k に関してですがf'(k)(-K/L^2 )の部分がわかりません。

>・k^<k~<k*の場合？

>ソローモデルは離散時間のモデルで習いました。

ソローモデルは離散時間のモデル（差分方程式のシステム）でも、連続時間モデル（微分方程式のシステム）でも表わされますが、どちらのモデルで学びました？

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