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A’B’=x^2(x−1) になるのはわかるのですが、最終的にA’ ,B’の答えが解答のようになるのが分かりません…。教えて下さい。

「数Ⅱ 整数の約数」の質問画像

A 回答 (4件)

二つの整式を掛け合わせると


最大公約数を重複して掛け合わせたものになるので、
整式を掛け合わせたものに最大公約数を割ると最大公倍数になる。
AB/(x+1) =x^4 -x^2 =x^2(x^2 -x) =x^2(x -1)(x+1)
AB=x^2(x -1)(x+1)・(x+1)

ここで、A=(x+1)A' 、B=(x+1)B' (A'とB'は互いに素)とするとき
上の式から
(x+1)A'・(x+1)B'=x^2(x -1)(x+1)・(x+1)
A'B'=x^2(x -1)
となる。

A'とB'は互いに素と決めたのだから、
仮にどちらかがxのみを持った場合、もう片方がx(x-1)となり
公約数xを持ってしまうことになるので不適格。
したがって、x^2 と (x -1) の二つの因数からなるものを考えればよい。

すべてを書き出してみると
 A'=1 、B'=x^2(x -1)
 A'=x^2、B'=(x -1)
 A'=(x -1) 、B'=x^2
 A'=x^2(x -1) 、B'=1
の4通りであるが、A'とB'は順不同でどちらでもよいわけだから
組み合わせの
A'=1 、B'=x^2(x -1)   …(1)
A'=x^2、B'=(x -1)   …(2)
だけを考えれば十分。

よって求める二つの整式は
(1)
A=(x+1)A' =(x+1)
B=(x+1)B' =x^2(x -1)(x+1)
(2)
A=(x+1)A' =x^2(x+1)
B=(x+1)B' =(x+1)(x -1)
の2通りとなる。



二つの整式をA、Bと適当に決めたことから
A、Bを入れ替えても問題はない(一般性は失われない)のです。
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例えば、12=2^2・3 の場合は、(4,3)と(12,1)つまり


(2^2,3),(1,2^2・3)
でも, (2,6)は、6は2で割れるので、答えから除外だね!
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互いに素とは、お互いにおいて、もう約分できないという意味です。


つまり、数で言えば、例えば、
6=2・3 であるから、
掛けて6は、(2,3)と(1,6) の組み合わせになるのと同じように
整式も同じと考えれば良い!
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二つの整式の最大公約数が(x+1)


のとき、A′,B′は共通の因数を持たない。
つまり、写真で、A′B′=x^2・(x-1)
なので、
A′B′の考えられる組は
(1,x^2・(x-1)),(x,x(x-1)),(x^2,x-1)
ですが、(x,x(x-1))のとき、
xが共通の因数となってしまい、
二つの整式の最大公約数がx(x+1)
となってしまうから、
A′,B′の組は他の二つとなる。
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