数式の意味について

どうも数式に弱くて困ります。以下について教えてください。
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Z＝αX+βY ただし α＋β=1　とする。

(ちなみに元ネタの数式は、投資価値=α×(配当金/期待収益率)+β×純資産 ；α＋β=1　)

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上の数式で α＋β=1　はどういう意図ですか？比例配分か何かでしょうか？

質問者からの補足コメント

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  ただ、少し疑問が残るのが、必ずしも、α+β=1　を満たす必要はないのではないか？　という点です。
  
  例えば、、「配当金/期待収益率」の90％と純資産の90% を合算して (この場合α+β=1.8)、「投資価値」としても問題はないと思うのですが、この点いかがでしょうか。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/07/29 00:15

No.1 回答者： hiccup 回答日時： 2017/07/28 21:37

高校で習った位置ベクトルを思い出すと、点 Y と点 X を結んでできる線分 YX を α：β に内分（どちらかが負の数になるときには適切に書き替えて外分）する点が Z です。

点の位置を座標（線形代数の用語）で表すと、Y は (0, 1) 、X は (1, 0) 、Z は (α, β) です。
α+β=1 なので、Z は直線 XY 上にあります。
この図が描けるなら大丈夫です。

これを本当に平面の図で意味付けると、量としての Z は平行四辺形の２辺の和ですが、そんなことはどうでも良いです。これを無理やり１次元に描いてしまえば OK です。X も Y も Z も、数直線上の座標（これは中学で習うあれ）で表されます。

つまり、数直線上の座標 (Y) と (X) が表す２点を、(0) と (1) で取り直したとき、(α) に相当する元の座標が (Z) です。
言い換えると、数直線上の座標 (Y) と (X) が表す２点を、(0, 1) と (1, 0) で取り直したとき、(α, β) に相当する元の座標が (Z) です。これはわかりにくいですね。α+β=1 は内分や外分の場所を具体的に教えます。(α) みたいに。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。確認のために図を作ってみたのですが、以下のような理解でよろしいでしょうか。


確認用の図： https://www.fastpic.jp/viewer.php?file=495616200 …

お礼日時：2017/07/28 23:04

No.2 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/07/28 23:30

この場合、αとβの関係は比重でしょうかね。

足し合わせて1ということは、100%ととらえることもできますから。

よって、例えば
配当金/期待収益率を40%、純資産を60%として投資価値を決める
とかそういう使い方だと思います。
（この場合、α=0.4、β=0.6）

どちらをどの程度重く見るかで％が変化する
そういう式なのではないでしょうか。

この回答へのお礼

今晩は。回答ありがとうございます。

>配当金/期待収益率を40%、純資産を60%として投資価値を決める
とかそういう使い方だと思います。

投資価値というと、単純に、投資価値=配当金/期待収益率+純資産 でいい気もしますが、言われてみると、ご指摘のように「配当金/期待収益率を40%、純資産を60%として投資価値を決める...」という使い方なのかもしれませんね。
　今少し考えてみます。回答を締め切るのはもう少々お待ちを。

お礼日時：2017/07/29 00:04

No.3 回答者： hiccup 回答日時： 2017/07/29 00:29

X と Y に関連するベクトルを線形独立に取ると、量としての Z は、あなたの図でいうと x 座標と y 座標の和になります。

線形従属に取ると、その図が直線上に描けて、X, Y, Z は座標で出てきます。
数直線上に (0), (X), (Y) が下の図のように配置されているとき、座標を赤文字の (0), (1) のように取り直した数直線を考えると、座標が (α) になるところが (Z) です。
青文字のように取り直した場合には、座標が (β) にあたるところが (Z) です。
α+β=1 の関係になっています。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

すみません、ベクトルを少し忘れている箇所があります。只今線形代数の教科書を引っ張りだして復習中につき、締め切るのをもう少々お待ちください。

お礼日時：2017/07/29 12:56

No.4 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/07/29 00:38

足して1になるというのがポイントだと思います。

90%と90% は、50%と50% と比重は変わりません。
ですが、投資価値の数値だけが膨らみます。

どこが違うのかという疑問は
つまりは、100点満点のテストなのか、
それとも180点満点のテストになるか、の違いでしょう。


結局のところ、他と比較する関係上、
100点満点のテストにしたほうがわかりやすいからでしょうね。

この回答へのお礼

何度もすみません。比例の考えがわからなくなってきました。

> 足して1になるというのがポイントだと思います。

しかし、α、βがそれぞれ割合(比)を表すと考えた場合に、αの元になる量は「配当金/期待収益率」であり、βの元になる量は「純資産」のはず。その場合、例えば、「配当金/期待収益率」は2000万円と「純資産」は3億円というように、それぞれの値が異なる場合でも、 50%+50%=100%というような足し算をできるのですか？

>つまりは、100点満点のテストなのか、それとも180点満点のテストになるか、の違いでしょう。

しかし、成績＝(科目X )×α＋(科目Y)×β の時にα＋β=1.8 と置いた場合、成績は180点満点にはならないと思うのですが。さらにいうと、α＋β=1と置いても成績が100点満点になるとは限らないのではないでしょうか。(ただし、科目Xと科目Yが共に100点の時は「成績」は100点満点ですが)
　逆に、科目Xが120点満点で、科目Yが100点満点の時などは、成績を100点満点で表そうとすると、α=0.5 β＝0.4 のようにα＋β≠1に設定しないといけませんよね。そうするとますますα＋β=1と設定する意味がわかりません。

お礼日時：2017/07/29 10:22

No.5 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/07/29 12:29

ケースによっては純資産が何十、何万倍にもなることが予想されるのに

テストの答案と同じく「成績」として導き出すのは違うのですけどね…
（例えとして出したのが良くなかったようで反省）


おさらいしてみましょう。
まず前提として、α+βは固定の数値にしなければなりません。
これは他と比較する関係上必須です。
（変動させてしまえばいくらでも数値がごまかすことが可能です）

そしてなぜ1にするのかといえば、
片方を n% とすれば、もう片方が (100-n)% と
簡単に割り出せるからです。

α+β=1 と決めておけば、
投資価値、配当金/期待収益率、純資産
の3つの数値から比重を求めることは簡単です。
Z＝αX+βY ＝αX+(1-α)Y =Y +α(X-Y)

どちらを重く見ているかは評価する人によって違うかもしれませんから
逆算してその人がどちらを重く見ているかを簡単に知ることもできます。

そういうことから、α+β=1 という基準にして先に決めておくことで
比較対象としているわけですね。


それでもわからないというのであればNo.3の方が教えてくれているように、
投資価値の数値が、(配当金/期待収益率)と純資産の間になること
で納得してもらっても構いません。

この回答へのお礼

再度回答ありがとうございます。

>α+β=1 という基準にして先に決めておくことで
比較対象としているわけですね。

　先にα＋β=1　と決めておけば、片方をn%とすれば自ずともう片方が(100-n)％になり計算が簡単である上、比重を決める上でその方法で問題ないわけですね。

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　すみません、1点確認よろしいでしょうか。

>投資価値、配当金/期待収益率、純資産の3つの数値から比重を求めることは簡単です。
Z＝αX+βY ＝αX+(1-α)Y =Y +α(X-Y)

　上の式で、αX+(1-α)Y は、Xの資産価値を重くみる場合に利用すると都合がよく、Y +α(X-Y) は、Yの資産価値を重くみたい場合に利用すると都合がいいということでしょうか？

お礼日時：2017/07/29 12:47

No.6 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/07/29 13:37

経済などで使用する計算はわかりやすさを優先する傾向があります。

Z＝αX+βY ＝αX+(1-α)Y =Y +α(X-Y)
この式からX,Y,Zの3つがわかっていれば、
Xの割合であるαを求めることができます。

一方で、α=1-β を代入すれば
Z＝αX+βY ＝(1-β)X+βY =X +β(Y-X)
という式変形もできます。
この式からはβを簡単に求めることができます。

どちらの式にしても、α+β=1 なので比重はすぐにわかりますよね。
ですので、
どちらを重く見るか、ではなくどちらを先に求めたいかの違いになります。


逆に、X,Yとαだけわかっていれば
Z＝Y +α(X-Y) からZを計算することができますし、
X,Yとβだけわかっていれば
Z＝X +β(Y-X) からZを計算することができます。

使い方は状況に合わせて変えてください。

この回答へのお礼

な・る・ほ・ど!

要するに計算便宜上の技みたいなものですね。納得できました。ありがとうございます。

お礼日時：2017/07/29 14:41