３の倍数の数え方（場合の数）

「１から９までの数字を１つずつ使って、３桁の３の倍数はいくつできるか」というよくある問題ですが、本に書いてあった解答に疑問があります。
解答では、百の位が１の時の数を数え上げて（２０個です）、２から９の場合も同じ数だけあるから答えは２０×９で１８０個、となっていました。
これって特に証明の必要もない自明のことなんですか？？
疑問だったので、実際に各桁の和が３の倍数になる組合せを全部書き出したら、確かに１から９までの数が同数含まれていました。ですが、なぜそうなるのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/07/29 17:59

１から９までの数字　だから　だと思いますが・・・

~~

自分が解答するときは、上のような解答はしません。
もっと、詳しく書きます。


３で割ると余りが０　･････　３，６，９　の３個
３で割ると余りが１　･････　１，４，７　の３個　　
３で割ると余りが２　･････　２，５，８　の３個
それぞれ　同じ個数　です。


各桁の数の和が３の倍数であればよいので、余りで考えると
（百の位，十の位．一の位）は、
（０，０，０），（０，１，２），（０，２，１），　･････ (ア)
（１，０，２），（１，１，１），（１，２，０），　･････ (イ)
（２，０，１），（２，１，０），（２，２，２）　　･････ (ウ)
の９個の場合があり、

百の位が１のとき　(イ)の場合で、
(十の位．一の位）は、（０，２），（１，１），（２，０）だから
３×３＋２×１＋３×３＝２０（個）

百の位が４，７のときも同じ　(イ)の場合だから、２０個あり、


百の位が２，５，８のときは　(ウ)の場合になり、
(十の位．一の位）は、（０，１），（１，０），（２，２）だから
それぞれ
３×３＋３×３＋２×１＝２０（個）


百の位が３，６，０のときは　(ア)の場合になり、
(十の位．一の位）は、（０，０），（１，２），（２，１）だから
それぞれ
２×１＋３×３＋３×３＝２０（個）

と、同じ２０個になります。


一応、式が　２×１　と　３×３　と　３×３　の和　だから
同じ数だけある
とかいてあるのでは・・・


０から９までの数字　であれば百の位の数字によって個数が異なる場合があるので、
~~

上のような書き方は無理だと思いますが・・・

この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございました。そういう意味だったのですね！
１から９で、たまたま３で割った余りの数が等しいものが同数になるから使える手なんですね。
おかげさまで、すっきりしました。

お礼日時：2017/07/29 21:24