√６＝√（－２）（－３）＝√（－２）√（－３）＝√２i√３i＝－６ この計算のどこがおかしいですか？

今高校数学２　複素数と二次方程式　の範囲を勉強しているのですが、
√６＝√（－２）（－３）＝√（－２）√（－３）＝√２i√３i＝－√６　　
この式のどこが間違っているのか分かりません！教えて下さい！
ご回答宜しくお願いします！

No.17 ベストアンサー 回答者： tsukita 回答日時： 2017/08/12 00:30

質問者は、多分、複素関数の話をしたいのではないと思います。

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>素数という概念内では根号の中身が負になってもいいのかなと
>思っていたのですが、違うのですか？ご回答宜しくお願いします！

複素数まできちんと学んでいますね？
根号の中身は負で大丈夫です。自信をもってください。
これまでは根号の中身が負の数はＮＧでした。
これからは、根号の中身が負であってもＯＫです。
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でも「負の数の根号」とがＯＫなことと
「負の数の根号」×「負の数の根号」の“計算”が
今まで通りＯＫなことは違うということです。

つまり、根号の中身が負のときには
√a × √b = √ab　
とは計算してはいけないということ。

数学Ⅰの教科書を見てください。
性質★　a>0　b>0　のとき　√a × √b = √ab
と書いてありますよね！

√６＝√（－２）（－３）＝√（－２）√（－３）＝√２i√３i＝－√６　

の計算式では左から２つめの＝が誤っていて、それ以外の＝は正しいです。
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No4の回答について

> √(ー2)(ー3)=√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=√(ー1)²√2√3=√2√3=√6 だから。　☆

２つ目の＝と３つ目の＝が計算の性質★に違反しています。

>この部分を√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=i√（２）i√（３）としてはダメな理由を教えて頂けませんか？
ダメでなく、正しいです。（これは自信を持ってください！）
でも数式☆では２つめの＝がＮＧだから、√６とは等しくありませんね！

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。!(^^)!

お礼日時：2017/08/16 09:43

No.23 回答者： 6960山仲雅子 回答日時： 2017/08/12 20:34

√6=√(2×3×1)=√(2×3×exp(ix)×exp(-ix))

が恒等式。

それをx→πにした結果、√6=√(2×3)となる。
-1を2回かけると1になるから√6=√(-2)×√(-3)になるというのが間違い。
-1どう導いたのかが重要であり、1=exp(ix)×exp(-ix)を使わなければ解析的恒等式にはならない。

ここで言っている位相とは、xと-xであり、位相を考慮しない演繹は間違いだということです。複素関数的に言えば、exp(i2π)=1をかける行為は位相が元の位相とは異なることを示している。

No.22 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2017/08/12 20:12

20、21は位相が異なるということを明記していない。

No.21 回答者： hiccup 回答日時： 2017/08/12 16:53

高校ルールでは

　√{(-2)×(-3) = √(-2) × √(-3)

がダメです。

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ところが、リーマン面的には正しいと解釈できます。これは「正しく読むならば式は正しい」という意味です。

　　√{r exp(iθ)} = (√r) exp(iθ/2)

とするとき、定義域として複素平面が２枚あれば値域として全平面をカバーできます。
複素平面２枚分とは、早い話、偏角を mod 2π ではなく mod 4π で見ればいいのです。
これによって、この２枚分の複素平面に乗法が入ります。

また、極座標表示で、(r, θ) と (r, θ+4π) は同じものだが (r, θ+2π) とは区別するということでもあります。
よって、3 と 3' とか -2 と (-2)' のように書いて区別することにします。

この書き方でいうと、偏角が 0 のところを見れば、√(正の実数) は正の実数です。
また、虚数単位はこの関数では √(-1) で表されます。


準備ができました。

繰り返しますが、定義域の方の乗法が mod 4π であることに注意しなければなりません。たとえば、偏角が π である２つの負の数の積は、偏角が 2π の正の数になり、偏角 0 の正の数とは区別されるという具合にです。

　(-2)×(-3) は 6 ではなく 6'

みたいに。ここで、√6 は 6 の正の平方根、√(6') は負の平方根になります。

分解のしかたは

　6 = 2×3 = 2'×3' = (-2)'×(-3) = (-2)×(-3)'
　6' = 2'×3 = 2×3' = (-2)×(-3) = (-2)'×(-3)'

　-2 = -1×2　、　(-2)' = -1×2'

で、根号を分けることができます。たとえば

　√6 = √{(-2)'×(-3)} = √(-2)' × √(-3) = √(2') i × √3 i = -√(2'×3) = -√(6')
　√(6') = √{(-2)×(-3)} = √(-2) × √(-3) = √2 i × √3 i = -√(2×3) = -√6

となり、成立するのです。


以前、似た質問に誤った部分を含む回答を寄せたので、反省の意味も込めて、正しい（と思われる）回答をここに記します。
ありがとうございました。

No.20 回答者： uyama33 回答日時： 2017/08/12 13:04

複素数を勉強しているとのことですが

高校２年生での複素数は、a+bi　の形で学んでいると思います。
もう学校での勉強が少し進むと、
複素数を
r*e^(iθ)　 ( rは絶対値、大きさで、　θは偏角です。)
の形で勉強するとおもいます。
e^(iθ)＝cosθ+i*sinθ
となって、θの周期関数になります。
θ＝２ｋπ　（ｋは整数）
のときは、e^(i２ｋπ)＝cos（２kπ）+i*sin（２kπ）＝１
となります。
また、e^(iπ/2)＝cos（π/2）+i*sin（π/2）＝0+i*1＝i
も成立します。

複素数として６を考えれば
６＝６*1＝６*e^(i２ｋπ)
となり、
さらに、√６を２乗して６となる複素数と考えれば
実数での、ｒ＝√６と　e^(i２ｋπ/2)＝e^(iｋπ)
の積が複素数と考えた時の√６になります
√６（複素数）＝√６（実数）*e^(iｋπ)
ここで、
ｋが奇数のときは　e^(iｋπ)＝-1
ｋが偶数のときは　e^(iｋπ)＝1
となって、２つの値が出てきます。
考え方としては、

√６（複素数）は上の二つの値のうちの任意のものを表すと考えることも有ります。
幾つかある値のうちの任意のひとつについて等号（＝）を使って計算することに
多少の問題はある。

さて、複素数を考えての計算では
６＝６*1＝６*e^(i２ｋπ)
-2＝2*(-1）＝2*e^(i2ｐπ)*e^(i１π)
-3＝3*(-1）＝3*e^(i２ｑπ)*e^(i１π)
（ｋ、ｐ、ｑは整数）となるので、

√６（複素数）＝√（－２）（－３）（複素数）
＝√{2*e^(i2ｐπ)*exp(iπ)×3*e^(i2ｑπ)*exp(iπ)}
={2×exp(i2ｐπ+iπ)×3×exp(i2ｑπ+iπ)}^(1/2)
=√2×√3（左は実数）×exp(i(p+q+1)π)
＝√６(実数）*exp(i(p+q+1)π)
となるが、
ｐ、ｑは勝手な整数なので、
p+q+1　が偶数のときは、exp(i(p+q+1)π)＝1
p+q+1　が奇数のときは、exp(i(p+q+1)π)＝-1
となり、一意的には定まらない。

√（－２）√（－３）＝√２i√３i＝－√６　
の部分は、
√（－２）√（－３）
＝√{2*e^(i2ｐπ)*exp(iπ)｝×√｛3*e^(i2ｑπ)*exp(iπ)}
＝√2（実数）*e^(iｐπ)*exp(iπ/2)×√3（実数）*e^(iｑπ)*exp(iπ/2)}
＝√2（実数）*i*e^(iｐπ)×√3（実数）*i*e^(iｑπ)
＝√６（実数）*(-1)*e^(i(ｐ+ｑ）π)
=－√６*e^(i(ｐ+ｑ）π)
ｐ、ｑは勝手な整数なので、
p+q　が偶数のときは、exp(i(p+q)π)＝1
p+q　が奇数のときは、exp(i(p+q)π)＝-1
となり、一意的には定まらない。

昔は数学Ⅲで上の話を学びました。

結論：
いまの段階では、√(ab)＝√a * √b
とできるのは、a,bが０以上の実数のときだけと憶えておいて、
複素数の平方根はもう少し数学Ⅲを勉強してからにする。

No.19 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/08/12 02:21

指数法則が成り立つ条件を確認しましょう。

(a・b)^r=a^r・b^r は、aやbが負の時、rには制限があります。
r=1/m(mは整数)なら、mが奇数で無いと成り立ちません。
つまり指数法則はこの質問のようなことが起きないように
決められているのです。何も考えずに使ってはいけません。

No.18 回答者： 6960山仲雅子 回答日時： 2017/08/12 00:50

No17さん。

公理系が違うのです。
右辺と左辺が異なる演算は許されないのです。

なぜか？複素関数論ならば位相を考慮しなければ値は変化しないからです。
単純な数値が右辺と左辺で異なることはありえない。

だから複素平面を用いて実数の演算を定義してあげたわけです。

No.16 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2017/08/11 22:45

No.15の回答は、√6という実数を初めから複素関数と扱うから論理の演繹に失敗している。

複素関数論ならば位相はどうなっているか明記しなければならない。

No.15 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2017/08/11 02:40

定期的に出る質問ですね。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/3099223.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/5897956.html

大学にいって、複素関数についてちゃんと勉強すれば、疑問は解決するでしょう。

問題の根本は、
・実数関数としての √x という関数
・複素数関数としての √z という関数
の定義が異なることです。この２つの関数は、たまたま同じ記号（√)を使って表記しますが、全く異なる関数です。
なんで、一つの式のなかで混ぜて使ってはいけません。

・実数関数としての √x という関数は、x≧0 の範囲だけに定義されていて、「xの（２つある）平方根のうちの正のほう」と定義されています。
一方で、
・複素関数としての √z という関数は、全ての複素数（当然、実数も含みます）について定義されていて、√z = exp(1/2×log(z)) と定義されています。
　これは、多価関数（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E4%BE%A1 …） といって、一つの z に対して２つの値を持つ関数になります。

質問文の中にでてくる、√6 は、実数関数としての √x なんでしょうけど、
√(-2) とか、√(-3) とかは、√の中が負の実数ですから、実数関数としての√x の定義域から外れていますから、複素関数としての √z と解釈するしかありません。
つまり、一つの式の中で、実数関数としての √x と複素数関数としての √z という、２つの全く異なる関数を混ぜて使っているので、おかしなことがおこっているように見えています。

質問文の全て√ を複素関数としての √z だと考えれば、
√6 = exp(1/2*log(6)) = ±√6
√(-2) = exp(1/2*log(-2)) = ±√2i
√(-3) = exp(1/2*log(-3)) = ±√3i
ですから、
√6＝√(-2)(-3) =√(-2)(-3) ＝(±√2i)(±√3i) = ±√6
で（多価関数としての）等式が成り立ちます。

No.14 回答者： 6960山仲雅子 回答日時： 2017/08/11 01:00

wikiの「a<0かつb<0」は初めから負数を扱っているため、正数から始めた論理と一致しない。

数学の論理上の負数の定義順位に気をつければ、質問のような矛盾は生じない。