√６＝√（－２）（－３）＝√（－２）√（－３）＝√２i√３i＝－６ この計算のどこがおかしいですか？

今高校数学２　複素数と二次方程式　の範囲を勉強しているのですが、
√６＝√（－２）（－３）＝√（－２）√（－３）＝√２i√３i＝－√６　　
この式のどこが間違っているのか分かりません！教えて下さい！
ご回答宜しくお願いします！

No.13 回答者： 6960山仲雅子 回答日時： 2017/08/11 00:27

√6=√(2×3×1)=√(2×3×exp(ix)×exp(-ix))

→√{(-2)×(-3)}=√{2×exp(iπ)×3×exp(-iπ)} (x→π)

複素関数論を学んでいれば、
√{2×exp(iπ)×3×exp(-iπ)}
={2×exp(iπ)×3×exp(-iπ)}^(1/2)
=√2×√3×exp(iπ/2)×exp(-iπ/2)
=√2×√3
と一意に求まる。

No.12 回答者： 6960山仲雅子 回答日時： 2017/08/11 00:09

No.11の理由

複素平面上の実軸への射影を考慮しなければならないから。

No.11 回答者： 6960山仲雅子 回答日時： 2017/08/10 23:54

任意のxに対する恒等式は

1=exp(ix)exp(-ix)

x=πの時が
1=(-1)×(-1)
を実現する。

右辺の-1はそれぞれ、exp(iπ)とexp(-iπ)で分かれていなければならない。

No.10 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/08/09 23:50

イメージでいうなら

本来 2個ある「x (≠ 0) の平方根」の一方のみを √x という記号で表すことにしたため任意の演算と両立するとは限らない
ということ.

もっとシンプルにいうなら
実数 a に対して √(a^2) = a ですか?
ってこと.

No.9 回答者： m-jiro 回答日時： 2017/08/09 22:51

√(－2) ＝ √２i　の変形に問題がある。

( √(－3)＝√3i も )
2乗して －2 になる数は √2i と －√2i があります。
つまり √(－2) ＝ ±√２i としなくてはならない。

ということは　
√６＝√( (－2)・(－3) ) ＝ √(－2)・√(－3) ＝ ( ±√２i )・( ±√３i ) ＝ ±√6　となる。
元が √6 と正の数なので結果も正の √6 を採用すればOKとなります。

この問題、wikiにありました。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9 …　の
真ん中あたり。

下は √(-1)(-1) でやっています。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/6272176.html

No.8 回答者： 6960山仲雅子 回答日時： 2017/08/09 20:47

7番さん、複素平面で考えてください。

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2017/08/09 20:40

ＮＯ４です。

　ごめんなさい,間違えました。

「√(ー2)(ー3)=√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)」が、間違いでした。
√(ー2)(ー3)=√｛(ー1)(2)(ー1)(3)｝=√(ー1)²√2√3=√2√3=√6　でした。

√（2・3)=√2・√3　には成りますが、
√｛(ー2)(ー3)｝は、｛√(-2)√(－3)}には成りません。
そう云うルールですから。

No.6 回答者： 6960山仲雅子 回答日時： 2017/08/09 20:26

6=2×3

6=(-2)×(-3)

平方根をとって
√6=√2×√3=√(-2)×√(-3)

これは実は(-2)=2×exp(iπ)、(-3)=3×exp(-iπ)
にならないといけないのです。

1=exp(ix)exp(-ix)であるからです。
位相は一周させてはならないのです。

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/08/09 18:24

>>複素数という概念内では根号の中身が負になってもいいのかなと思っていたのですが、違うのですか？

分解する時はそうは行かない事は、貴方が質問で示した通りです。
√６＝－√６が導かれてしまった。

数や演算規則は一意に決まらないといけないと云う事です。

教科書に書いて有るから探して下さい。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2017/08/09 15:20

√(ー2)(ー3)=√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=√(ー1)²√2√3=√2√3=√6 だから。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！一つ疑問があります！
＞√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=√(ー1)²√2√3=√2√3=√6
この部分を√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=i√（２）i√（３）としてはダメな理由を教えて頂けませんか？
ご回答宜しくお願いします！

お礼日時：2017/08/09 17:05