二次方程式 X^-2(k-1)X-k+3＝0が異なる２つの正の解を持つ ネットでも調べたのですが、解

二次方程式

X^-2(k-1)X-k+3＝0が異なる２つの正の解を持つ

ネットでも調べたのですが、解と係数との関係というのがよく分からず、解けませんでした。解説よろしくおねがいします。

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/25 12:03

解と係数の関係を使わない方法で！

与式を変形して
X^2+2X+3=2kX+k とし
f(X)=X^2+2X+3=(X+1)^2+2 …(1)
g(X)=2kX+k …(2)
との交点を求めればいいので、
f'(X)=2X+2 より

X…y…f'(X)…k (y=g(X)のy切片)
0…3…2……1
1…6…4……2
2…11…6…3
3…18…8…4

図より
仮に、k=3とすると、y=g(X)は、y=2・3X+3=6X+3
となり、f'(0)=2＜6,f'(3)=8＞6で、必ずy= f(X)の方が大きくなる点が1点のみある。
(放物線と直線との連続性の性質から)
よって、g(X)＞f(X) k＜3において
また、図より
k=2とすると、y=g(X)は、x=1のとき、y=4X+2
y=f(X) は、y=4X+6
で、交点なし f(X)＞g(X) k≦ 2
∴ 3＞k＞2

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/08/19 00:13

解と係数との関係とは、二次方程式の2つの実数解を a, b とすると

　(x - a)(x - b) = 0
を満たすことから、これを展開した
　x^2 - (a + b)x + ab = 0
と、もとの方程式の係数とを比較するということです。

ご質問の場合には
　2(k - 1) = a + b
　-k + 3 = ab
となるということです。このとき、2つの実数解が a>0, b>0 であれば
　a + b > 0
　ab > 0
ということですから
　2(k - 1) > 0
　-k + 3 >０
より
　1 < k < 3　　　①
ということです。

ただし、これだけでは不足で、判別式
　D = [ 2(k - 1) ]^2 - 4( - k + 3 )
　　= 4k^2 - 8k + 4 + 4k - 12
　　= 4k^2 - 4k - 8
　　= 4(k^2 - k - 2)
　　= 4(k - 2)(k + 1)
より、方程式が2つの異なる実数解をもつためには D>0 で
　　(k - 2)(k + 1) > 0
よって
　　k<-1 または 2<k　　②

従って、方程式が2つの異なる正の実数解をもつための k の範囲は、①と②が同時に成り立つ範囲で
　　2 < k < 3
ということになります。


（別解）
「解と係数との関係」を使わない場合には
　y = x^2 - 2(k - 1)x - k + 3
とおけば
　y = [x - (k - 1) ]^2 - (k - 1)^2 - k + 3
　　= [x - (k - 1) ]^2 - k^2 + k + 2
であり、このグラフは、下に凸で
　頂点：( k - 1, -k^2 + k + 2)
の放物線です。
これば x>0 で x 軸と2点で交わる条件は
　頂点の x 座標 > 0
　頂点の y 座標 < 0
　y 切片 > 0
です。
　これより
　　k - 1 > 0
　　-k^2 + k + 2 = -(k - 2)(k + 1) < 0　→ k<-1 または 2<k
　　-k + 3 > 0
これらが同時に成り立つ共通範囲は
　　2 < k < 3

この回答へのお礼

回答しか無かったので、これを見てよく理解できました。ありがとうございました。

お礼日時：2017/08/19 15:35