ピラミッドの石の数

ピラミッド型に立方体を積み上げていったときの、立方体の数を教えてください。
縦横に同じ数の立方体を並べ正方形を作り、その上に縦横1個少ない数の立方体を順に並べていき、ｎ段の高さになったときのピラミッド全体の立方体の個数をｎを使って表すとどんな式になるのでしょうか？　簡単そうなのにどうしても分からないです。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Ginzang 回答日時： 2017/08/19 08:26

n段のピラミッドに使われる立方体の総数は、n(n+1)(2n+1)/6 個になる。

これは高校の数学で学ぶことであるが、正しいことの確認自体は中学生でも簡単（きちんとした証明は、ちょっとややこしい）。
この式によると、n-1段のピラミッドでは (n-1)n(2n-1)/6 個の立方体を使うことになるが、これとn段のピラミッドの立方体との個数の差は
n(n+1)(2n+1)/6 - (n-1)n(2n-1)/6 = (2n^3 + 3n^2 + n)/6 - (2n^3 - 3n^2 + n)/6 = n^2
となる。当然これはn段のピラミッドの最下段の立方体の数に一致していて、式の正しさが分かるだろう。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
ほんとは何でその式になるのか知りたかったところですけど、式が分かっただけでも十分です！
この総数の式を見てると、立方体が縦横1個多いピラミッド2個分のような感じですが、こんどは高校の教科書を勉強します。(^-^)

お礼日時：2017/08/20 00:22

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2017/08/19 14:18

答は既に出ていますが。

＞縦横に同じ数の立方体を並べ正方形を作り、その上に縦横1個少ない数の立方体を順に並べていき・・・

そう考えるから難しくなるのです。
逆に、「最上段に１個置き、その下に縦横２個の立方体を並べ・・・」と考える方がイメージし易いと思います。
つまり、２段では 1+4 、３段では 1+4+9 、４段では 1++9+16 ・・・n段では 1+4+9+16+25+…+n² になります。
この計算の一般式は、下の方の回答通り 高校になってから学びます。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
ほんとは何でその式になるのか知りたかったところですけど、式が分かっただけでも十分です！
この総数の式を見てると、立方体が縦横1個多いピラミッド2個分のような感じですが、こんどは高校の教科書を勉強します。(^-^)

お礼日時：2017/08/20 00:23