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No.5
- 回答日時：
三角関数だと使えるとかではありません。
cos(3x)の積分の時
∫cos(3x)dx=(1/3)sin(3x)+C
とできるのは (3x)'=3が定数だからできるのです。定数でなければできません。
たとえば
∫cos(x^2)dxを1/(2x)*sin(x^2)+Cとはできません。
(ちなみの上記の積分は初等関数で表すことはできません)
合成関数の積分、など考えるのはやめなさい。
基本は置換積分であり、これも置換積分の応用にすぎないのです。置換積分を自在に使いこなせるようになればこのような計算も一目でできるようになります。
補足(3)に示された積分も置換積分を熟達すれば一目で計算できるようになります。計算は経験値を積むと簡単に計算できるようになりますが、練習を怠り一見簡単な方法にはまると使えない領域に応用しようとして失敗します。
追記
#4の方の最後の3行は間違いです。
正確には
∫g'(x)*f(g(x))dx=∫f(g(x)) dg(x)
です。置換積分をおこなうと積分変数が変わります。
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No.4
- 回答日時：
3) ∫ x(x^2+1)^5dx=(1/2)∫(2x)(x^2+1)^5dx=(1/2)∫(x^2+1)'(x^2+1)^5dx
=(1/2)(1/6)(x^2+1)^6+C
よって、x;0→1の定積分は、(1/2)(1/6)｛ 2^6ー1)=63/12=21/4
勿論、展開してもよいし、そんなに大変でない！
パスカルの三角形より
∫x(x^10+5x^8+10x^6+10x^4+5x^2+1)dx
=x^12 /12+5x^10 /10+10x^8 /8+10x^6 /6+5x^4 /4+x^2 /2 +C
よって、x;0→1の定積分は、1/12+5/10+10/8+10/6+5/4+1/2=21/4
∫ f(g(x))dx=∫g'(x)・f(x)dx
g(x)=x^2+1 ,g'(x)=2x
f(x)=x^5 ,∫x^5dx=x^6 /6+C
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No.2
- 回答日時：
例では、(log mx )'=(1/mx)・(mx)'=m/mx だから
(1/m)・(log mx)'= 1/mx だからです。ですから、
4x^3=｛ (x^4)^4 ｝' だから、∫ (4x^3)dx=x^4 になるから、1/3はしません！
だから、この式は覚えないでくださいと言ってるんです。
大事なのは、理解すること！理解すれば、1/3にはならない！
理解しない人には、数学3は難しく、理解している人には、そんなにむつかしくないでしょう！
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今回はこの問題なんですけど、どういう手順で判別していけば良いですか？
本当にお手数おかけして申し訳ございません。
まず、この右側が合成関数っていうのは理解できてるんですが、