ラザフォード散乱の断面積
dσ=(Z1Z2e^2/4E)^2*(1/sin(θ/2)) [Z1Z2の1と2は添字です]
がありますが,ポテンシャル
V(r)=Z1Z2e^2/r
を次のように
V(r)=(Z1Z2e^2/r)*e^(-αr)
とした場合,断面積はどのように変化するのでしょうか.
どなたか教えていただければ幸いです.

A 回答 (1件)

私には厳密に解くことはできそうもないので。


αが小さい場合を考えてexp(-αr)~1-αr
として(rが大きなところでは1/rで抑えられる?)
ラザフォードの公式を導くのと同じ計算をして
みるのではないでしょうか?

クーロン力よりも速く減衰するので
散乱断面積は小さく見えるはずですよね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます.参考になりました.

お礼日時:2001/07/10 14:20

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頂けないでしょうか?

よろしくお願いします

Aベストアンサー

 高校物理では等加速度運動に限定するため、ma=Fという式をよく用いますが、ご承知の通り、それは微分方程式m・d^2r/dt^2=Fの特別な場合です。

 m・d^2r/dt^2=Fは、実は物凄い式です。Fも時刻変化するため、m・d^2r/dt^2=F(t)と書いておいた方がいいかもしれません。また、速度vも考えると、m・d2v/dt=Fです。なお、vもrもベクトルです。

 その式が何を意味しているかといえば、「質量mの物体と位置、物体にかかる力の関係式」ということです。つまり、どんな時刻でもいいので物体の位置が分かり、物体にかかる力がどんなものか分かれば、物体の運動を無限の過去から未来永劫に渡って知ることができる、ということです。

 物体にかかる力は、直接の接触、重力、電磁気力しかありません(ただし、ニュートン力学や電磁気学のマクスウェル方程式が最終的な真理と思われていた19世紀末頃の知見)。それらは、質量や電荷が分かればどれだけかは厳密に確定します。つまり、どんなときにどれだけの力を及ぼすかは分かるわけです。

 そうすると、「どんな時刻でもいいので、全宇宙の粒子の種類と位置さえ分かり、無限の計算能力があれば、宇宙全体を無限の過去から永劫の未来に渡って知ることができる」ということになります(そうできる存在を想像して「ラプラスの悪魔」と呼んだりする)。

 そのことを言い換えると、この宇宙で起こることは全て確定している、宇宙のどこでも、いつでも、どんなことが起こるかは、宇宙が誕生したときに全て決まっている、ということになります。

 こうして回答を書いているのも、質問者様が疑問に思って質問されたことも、宇宙誕生のときから決まっていた、ということです。そうなっているという考え方を「決定論」と呼びます。

 微分方程式m・d^2r/dt^2=Fは、そういうことまで言っている式なのです。

 微分方程式による物理学は、電磁気学で威力を発揮しました。電荷の間に電磁気力が働く、という考え方を遠隔作用説と呼びます。微分方程式ではない簡素な式で物理現象を記述できます。それを「電荷の周りに電磁気的な場ができる」と考えるのを近接作用説といい、微分方程式による記述になります。

 遠隔作用説では説明できないことがあったり、電磁波の数学解も出て来ませんでした。近接作用説に則り、微分方程式で記述し直すと、電磁波の数学解が出てきて、実験してみると電磁波が発見されました。重力もニュートンの式は遠隔作用説の記述ですが、アインシュタインが近接作用説で書き直し、重力に対する理解が非常に進んで、今まで説明不能だったことが説明できるようになりました。

 遠隔作用説の微分方程式でない数式は二つ以上の物体を不可分として扱わねばなりません。数式は簡素でも、物理学的には複雑なことを表しています。一方、近接作用説で考えて出てくるのは微分方程式という見た目は複雑な数式ですが、数式が表しているのは一つの物体についてであり、内容的には簡素です。近接作用説は物理現象を、遠隔作用説より細かく分解して記述しているといえます。

 物理学では、物理現象を調べるときに、できるだけ細かい要素に分けて、一つ一つの要素を調べます。一つ一つが分かったら、元の形に組み直していき、ようやく「分かった」となります。細かく分解できるほど、正確に、精密になるというのが、経験的な事実です。微分方程式による記述は、もっと正確に、より精密にということの顕れです。当然、物理学として進歩します。

P.S.

 決定論は間違っていることが既に判明しています。量子力学の成果です。量子力学は「物理現象の根本は不確定で確率的である」としています。何事も100%の精度で知ることはできず、サイコロの目の出方次第で変わってしまうのですから、たとえ宇宙全体を観測できて、無限の計算能力を持っていても、ラプラスの悪魔にはなれないわけです。

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いまは ω=E/h'=h'k^2/2m ですから、v_g=h'k/m=p/mとなります。
(一方で位相速度は v=h'k/2mです)

位相速度は、いわば「平面波が移動する速度」です。
群速度は、「波束(空間的に局在した波)が移動する速度」です。
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Aベストアンサー

これは定義(約束事)↓ですから証明することは出来ません。

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計算がまちがっているのでしょうか?

Aベストアンサー

微分でわからなくなったら差にして考えてみてください。

速度vというのは、Δtを十分に小さい量として

v(t) = [ x(t+Δt)-x(t) ]/[ (t+Δt)-t ] = Δx(t)/Δt

ですね。同じようにして加速度a(t)は

a(t) = [ v(t+Δt)-v(t) ]/[ (t+Δt)-t ] = Δv(t)/Δt

ですが、v(t)に上の結果を使うと

a(t) = Δv(t)/Δt = Δ[Δx(t)/Δt]/Δt = Δ[Δx(t)]/(Δt)^2

です。

微分というのはΔt→0の極限を取ったときにΔをdと書くという
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a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)

は間違いで、本当は

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt)^2

という意味です。

また、

a=(d^2 x) /(d^2 t^2)

も間違いです。こう書いてしまうと分母はΔ(Δt^2)という意味になってしまいます。


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