面積素の求め方について 曲面 S が２つのパラメーターu,vで表されている場合を考えます．すなわち、

面積素の求め方について


曲面 S が２つのパラメーターu,vで表されている場合を考えます．すなわち、r=r(u,v)
ただし、rはベクトルとする。


曲面S上の4点を頂点とし，u曲線とv曲線で囲まれた微小図形 PP1P2P3を考え，その面積をdSとする


このとき、曲面Sでの面積素dSは

dS= |∂r/∂u×∂r/∂v|dudv
となっているのですが、なぜdu,dvが掛けられているのでしょうか？

そもそも、u方向にduだけ進んだ時のrの変化が∂r/∂uなのですから、それにduをかけるという意味がわかりません。
よくわからないので教えてください。

質問者からの補足コメント

• >>
  曲面r=r(u, v)の微小部分の面積ΔSを考えます。
  ベクトルPP1≒(∂r/∂u)Δu,
  ベクトルPP2≒(∂r/∂v)Δv,
  
  のところなのですが、なぜΔu、Δvをそれぞれかける必要があるのでしょうか？u方向にduだけ進んだときのrの変化が∂r/∂uなのだから、ΔSは
  ΔS=∂r/∂u×∂r/∂v
  となると思ったのですが・・・

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/09/05 17:43

No.1 回答者： diff3356 回答日時： 2017/09/05 17:33

曲面r=r(u, v)の微小部分の面積ΔSを考えます。

ベクトルPP1≒(∂r/∂u)Δu,
ベクトルPP2≒(∂r/∂v)Δv, ですから、
ΔS≒|PP1×PP2|
≒|(∂r/∂u)×(∂r/∂v)|ΔuΔv.
です。
第一基本量を使って、
dS=|(∂r/∂u)×(∂r/∂v)|dudv=√(EG-F^2) dudv.
が曲面r=r(u, v)の面積素です。