数学の実数の問題です。

こんばんは、ただいま数学の先生からの難題に頭を抱えています。
その答えを見つけるにあたり下記の解、またその証明方法が知りたいです。
中学生でもわかる証明法だといいです。

[２,３]と[２,１０]において、どちらの区間がより多い実数を有しているか。

どちらも無限に続くので参っています。
ヒントだけでもよろしいので教えて下さいませんか。

＊自分なりに一応考えてみました。
[２,３]の実数をｘ（∞）とする（仮定）　　　　　　　・・・①
[２,１０]の実数は[２,３]の８倍なので８ｘ　　　　　　・・・②
①と②より、　　ｘ＜８ｘ
故に　[２,３]＜[２,１０]
はじめはこれが正解だと思っていたのですが、見直したところ、どうにも安直な証明法なのでここに質問することにしました。

No.1 回答者： neKo_deux 回答日時： 2017/09/15 10:07

> [２,３]の実数をｘ（∞）とする（仮定）

更に前提条件で、「一定の区間に含まれる実数の数は同じとする。」って仮定にしとくとか。


あるいは、対象の区間がかぶってるんですから、
[２,１０]に含まれる実数の数＝[２,３]に含まれる実数の数ｘ＋[３,１０]に含まれる実数の数
なので、[３,１０]に含まれる実数の数が１個以上なのは自明なので～とか。

この回答へのお礼

neKo_deuxさん、回答ありがとうございます！　自分の詰めの甘さを思い知らされました。

お礼日時：2017/09/16 06:06

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/09/15 11:10

y=2x-14

このような関数を考えて見ましょう。
x∈[2,3]とするとy∈[2,10]であり、y∈[2,10]とするとx∈[2,3]となります。
この関数を使うと[2,3]に含まれる実数と[2,10]に含まれる実数は1対1に対応します。

無限集合でどちらの数が多いのか、というのは非常に厄介な問題なのです。
(2,3)に含まれる実数と(0,∞]に含まれる実数に関しても1対1の写像を作ることは可能です。区間の長さが有限であっても無限に長い区間にある実数に対して1対1にとることができるのです。

この回答へのお礼

rnakamraさん、回答ありがとうございます。
関数　y=2x-14を使ってｘとyを代入してみたところ、x=2　の時　y=-10、x=3 の時　y=-8となり、y≠[2,10]となりました。また、y=10 の時　x=12 となり x≠[2,3]となってしまいます。なぜこの関数を選んだのか教えていただければ幸いです。

お礼日時：2017/09/16 06:34

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/09/15 11:32

無限集合論の極めつけの問題。

答え=同じ。どちらも、濃度=ℵ１（アレフ・ワン）

厳密な証明は大学へ入ってからすれば良いから、イメージを下図で掴む。

赤の線は2-3、青の線は2-10を表す。
赤上の任意の実数aは、重複する事無く、青の1点bに対応する。
逆に、青上の任意の実数bは、重複する事無く、赤の1点aに対応する。

aとbは1:1に対応する。

だから、同じ。

1:1対応こそ、個数が多い・少ない・等しいと言う概念そのもの。

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/09/15 12:15

No.3の続き

学校の先生から「数としてどう対応するんだ、と言われた時」の対策もして置こう。

それも含めて、もう1度回答して置く。

-----------------------------------------------------

答え=同じ。どちらも、濃度=ℵ１（アレフ・ワン）

厳密な証明は大学へ入ってからすれば良いから、イメージを下図で掴む。

赤の線は2-3、青の線は2-10を表す。
赤上の任意の実数aは、重複する事無く、青の1点bに対応する。
逆に、青上の任意の実数bは、重複する事無く、赤の1点aに対応する。

aとbは1:1に対応する。

だから、同じ。

1:1対応こそ、個数が多い・少ない・等しいと言う概念そのもの。

下の図を見せれば良いけど、数値で対応を言っておくと。

任意のaに対して、bは b=8a-14 に対応する。
逆に任意のbに対して、aは a=(b+14)/8 に対応する。

この回答へのお礼

t_fumiakiさん、回答ありがとうございます。図も添えて頂いたのでイメージしやすかったです。
濃度はまだ習っていませんが、独自に調べてみます。

お礼日時：2017/09/16 06:47

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/09/15 13:00

「多い」とはどういう意味だろうか. 今日の数学では濃度の大小と解釈するのが普通で, その意味ではすでに回答があるように「同じ」というのが答え.

ただし無条件に「アレフ1」って書いちゃまずいと思うのよ＞#4. 「ベート1」なら問題ないんだけどねぇ.

この回答へのお礼

Tacosan さん、回答ありがとうございます。私の勉強不足で困惑させてしまい、申し訳ございません。また、ご指摘ありがとうございます。

お礼日時：2017/09/16 06:54

No.6 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/09/15 16:54

濃度という意味で言えば同じですね。

小数点以下の桁数が限られていればあなたが考えた通りなのですが、
実際には桁数も無限なので、無限の実数を含むことになります。
無限なのだから当然個数で比較することはできません。
ですので、別の考え方が必要でしょう。


区間 [2,3] から、実数xを一つ取ります。
ここで変換式 8(x-2)+2 を適用すると
どんなxに対しても区間 [2,10] の実数になります。

逆に、区間 [2,10] から、実数yを一つ取り
変換式 (1/8)(y-2)+2 を適用すると
どんなyに対しても区間 [2,3] の実数になります。

つまり、二つの区間内の実数が一対一で変換できるので、
個数は同じだけある。
というのが答えになります。

大学数学ではこれを濃度が同じとしています。
イメージとしては「長さが違ったとしても同じ一本の線（の区間）」
なので一対一に対応できるのは当たり前、といったところでしょうか。

この回答へのお礼

sasa_sanさん、回答ありがとうございます。また、濃度の具体的な説明ありがとうございます。
濃度のイメージとしてはいくつかの点（[２,３]の実数）を1cmの輪ゴムに書いて、それを8cmに伸ばした状態ということですか？

お礼日時：2017/09/16 07:07