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数学 二項定理について

二項定理を証明(教科書にのっているようなもの)するときに順列ではなく組み合わせを用いる理由を教えて下さい。よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

展開におけるある項の係数は、項の文字を選ぶ方法の数が係数になるから、組み合わせを用いて表すことができます。



(a+b)^3 の展開を考えましょう。

(a+b)(a+b)(a+b) を展開すると、aaa , aab , abb , bbb の項ができます。

aaa の項は、3つの( )から a を3つ選ぶ方法の数だけ 同類項ができます。
これが aaa の係数になります。よって、aaa の係数は 3C3(=3C0)

aab の項は、3つの( )から a を2つ , bを1つ選ぶ方法の数だけ 同類項ができます。
これが aab の係数になります。よって、aab の係数は 3C2(=3C1)

abb の項は、3つの( )から a を1つ , bを2つ選ぶ方法の数だけ 同類項ができます。
これが abb の係数になります。よって、abb の係数は 3C1(=3C2)

bbb の項は、3つの( )から b を3つ選ぶ方法の数だけ 同類項ができます。
これが bbb の係数になります。よって、bbb の係数は 3C0(=3C3)

したがって、
(a+b)^3=3C3aaa+3C2aab+3C1abb+3C0bbb
=aaa+3aab+3abb+bbb

あるいは
(a+b)^3=3C03aaa+3C1aab+3C2abb+3C3bbb
=aaa+3aab+3abb+bbb

(a+b)^n も同様です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2017/09/22 22:37

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このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q数学の実数の問題です。

こんばんは、ただいま数学の先生からの難題に頭を抱えています。
その答えを見つけるにあたり下記の解、またその証明方法が知りたいです。
中学生でもわかる証明法だといいです。

[2,3]と[2,10]において、どちらの区間がより多い実数を有しているか。

どちらも無限に続くので参っています。
ヒントだけでもよろしいので教えて下さいませんか。

*自分なりに一応考えてみました。
[2,3]の実数をx(∞)とする(仮定)       ・・・①
[2,10]の実数は[2,3]の8倍なので8x      ・・・②
①と②より、  x<8x
故に [2,3]<[2,10]
はじめはこれが正解だと思っていたのですが、見直したところ、どうにも安直な証明法なのでここに質問することにしました。

Aベストアンサー

濃度という意味で言えば同じですね。

小数点以下の桁数が限られていればあなたが考えた通りなのですが、
実際には桁数も無限なので、無限の実数を含むことになります。
無限なのだから当然個数で比較することはできません。
ですので、別の考え方が必要でしょう。


区間 [2,3] から、実数xを一つ取ります。
ここで変換式 8(x-2)+2 を適用すると
どんなxに対しても区間 [2,10] の実数になります。

逆に、区間 [2,10] から、実数yを一つ取り
変換式 (1/8)(y-2)+2 を適用すると
どんなyに対しても区間 [2,3] の実数になります。

つまり、二つの区間内の実数が一対一で変換できるので、
個数は同じだけある。
というのが答えになります。

大学数学ではこれを濃度が同じとしています。
イメージとしては「長さが違ったとしても同じ一本の線(の区間)」
なので一対一に対応できるのは当たり前、といったところでしょうか。

Q分数という概念について初歩的な質問です。

分数の概念について、初歩的なことがよくわからなくなりました。
というのは分数というのは本来、比を表すものですよね?

そこで例えば、りんごが2分の1個ある。という言い方はできるのでしょうか?
比に「個」という単位をつけるっておかしくないですか?
普通、りんごが2分の1個あると言われたら、りんご半切れを想像しますよね。
そこがよくわかりません。どんな条件や式が頭の中で省略されているのでしょうか?

また、仮にりんご3個を2とした時に、2分の1あると言われたら、どうなるのでしょうか?
全体数がわからない限り答えの出しようがないのではないのでしょうか?

初歩的な質問ですいません。

Aベストアンサー

前に回答された内容を見ていませんが、とりあえず書いておきます(^^;)
a を b で割った商をa/b と書いて、コレを分数と呼びます・・・これだけです(^^A)

>というのは分数というのは本来、比を表すものですよね?

そうとは限りません。分数の解釈として、割り算の商、分割、割合、比 等があります
数学で混乱する原因の一つとして、数式を(日常生活での)固定された意味でとらえようとする見方があります
数式をどのように使うかは、人間次第で、時と場面・用途によって意味が異なってきます

>普通、りんごが2分の1個あると言われたら、りんご半切れを想像しますよね。
>そこがよくわかりません。どんな条件や式が頭の中で省略されているのでしょうか?

これは数学上の問題ではありません・・・人間側の話です
人がよく使う表現の中では、りんご半切れのことを「りんごが2分の1個」と数学の用語を使って表すから、だから”半切れ”の事なんです

>また、仮にりんご3個を2とした時に、2分の1あると言われたら、どうなるのでしょうか?
>全体数がわからない限り答えの出しようがないのではないのでしょうか?

その通りです。
例えば、りんご農家に行って、「半分のりんごを下さい」って言います・・・すると、半分は1個の?1パレットの?1箱の?農園全体の?って、意味が通らないと思います
何の”半分”なのかハッキリしない限り、答えが出ないのは当たり前です

数学で 1/2 と書いた場合は、単に有理数を表します・・・これ以上でも、これ以下でもありません・・・比を表しているとも言えません
この 1/2 をどのように使い、どのように解釈するかは、人間がどの様に扱っているかに依存します

>りんごが2分の1個ある。という言い方はできるのでしょうか?

できます。言いたい事は分かるのですが、厳密な数学の話では無く、日常生活での数学の”利用”の話だからです

前に回答された内容を見ていませんが、とりあえず書いておきます(^^;)
a を b で割った商をa/b と書いて、コレを分数と呼びます・・・これだけです(^^A)

>というのは分数というのは本来、比を表すものですよね?

そうとは限りません。分数の解釈として、割り算の商、分割、割合、比 等があります
数学で混乱する原因の一つとして、数式を(日常生活での)固定された意味でとらえようとする見方があります
数式をどのように使うかは、人間次第で、時と場面・用途によって意味が異なってきます

>普通、りんご...続きを読む

Q理系なのに数学がビックリするほど苦手な高二です。 理系に進んだ理由は薬剤師になりたかったので進みまし

理系なのに数学がビックリするほど苦手な高二です。
理系に進んだ理由は薬剤師になりたかったので進みました。ですが今の夢はアイドル関係の仕事に就くことです。とはいってももう文理の変更はできません。
なので数学を頑張ってmarch、あわよくば早慶に受かりたいなと思っています。英語は得意なのですが数学が壊滅的です。もう何をすればいいがわかりません。
どうすれば克服できますか?同じ悩みを持っていた方数学が得意な方高学歴な方に教えて頂きたいです!

Aベストアンサー

こんばんは。
私の高校時代の友人は、高卒で、アイドルが多数所属する芸能事務所に就職し、マネージャーをやっていましたよ。
ですから、アイドル関係の仕事をするには、かならずしも、有名大学卒という学歴は必要ないのでは。
また、本当に芸能関係に進みたいのならば、大学ではなく、芸能関係の専門学校に進んだほうがいいんじゃないですか。

薬剤師になるためには、薬学部を卒業する必要があるのでは。ネットで少し調べたところ、
http://www.daigakuerabu.com/yakuzaishi.html
などの大学がいいようです。
名城は偏差値が52〜55くらいですから、数3が現在、壊滅状態であったとしても、入試の典型的な問題さえ解ければ、何とかなるのではないですか。
とくに私立大学でいえると思いますが、偏差値の高い大学=いい大学というわけではありませんよ。
なぜ、大学のブランドにそれほどこだわる必要があるのですか。

文系のヒトが理系の大学、学部を受験し、合格するというのは至難の業ですが、現在、理系であっても文系の大学、学部を受験して合格することは、それほど、難しいことではないでしょう。
たとえば、明治の経営学部ならば、国語と英語、数学(数学3とCは含まない)で受験すればいいのですから。
本当に芸能関係の仕事に就きたいのならば、理工学部に入学し卒業したって何のメリットもありませんよ。
なのに、なぜ、理系であり続けることにこだわるのでしょうか。

こんばんは。
私の高校時代の友人は、高卒で、アイドルが多数所属する芸能事務所に就職し、マネージャーをやっていましたよ。
ですから、アイドル関係の仕事をするには、かならずしも、有名大学卒という学歴は必要ないのでは。
また、本当に芸能関係に進みたいのならば、大学ではなく、芸能関係の専門学校に進んだほうがいいんじゃないですか。

薬剤師になるためには、薬学部を卒業する必要があるのでは。ネットで少し調べたところ、
http://www.daigakuerabu.com/yakuzaishi.html
などの大学がいいようです。
名...続きを読む

Q大学受験・微積

a,bを実数の定数とする。二曲線
C1:y=x^2, C2:y=-x^2+ax+b
がある。C2が点(1,2)を通るように動くときC1とC2で囲まれ部分の面積Sの最小値を求めよ。

どういうプロセスで解いていけばいいのでしょうか?

Aベストアンサー

No.1です。全然間違えてました。

C2が点(1,2)を通るから、2=-1+a+b よって、b=3-a
つまり、C2はy=-x^2+ax+3-a

C1の式とC2の式を連立させて、
x^2=-x^2+ax+3-a
2x^2-ax+a-3=0
この2解をα、β(ただし、α<β)とおく。
(注:aの値に関わらず、判別式=a^2-4・2・(a-3)=a^2-8a+24=(a-4)^2+8>0なので、α、βは異なる実数)

S=∫[α→β]{x^2-(-x^2+ax+3-a)}dx
=∫[α→β](2x^2-ax+a-3)dx
=(1/6)・2(β-α)^3  ← 1/6公式

ここで、α、βは、[ a±√{a^2-4・2・(a-3)} ]/4 = { a±√(a^2-8a+24) } /4 (ただし、復号のマイナスがα、プラスがβ)
なので、β-α = (1/2)√(a^2-8a+24) = (1/2) (a^2-8a+24)^(1/2)となる。

よって、S = (1/3) (1/8) (a^2-8a+24)^(3/2)
= (1/24) {(a-4)^2+8}^(3/2)
となり、これは、a=4のとき、最小値(2√2)/3をとる。

No.1です。全然間違えてました。

C2が点(1,2)を通るから、2=-1+a+b よって、b=3-a
つまり、C2はy=-x^2+ax+3-a

C1の式とC2の式を連立させて、
x^2=-x^2+ax+3-a
2x^2-ax+a-3=0
この2解をα、β(ただし、α<β)とおく。
(注:aの値に関わらず、判別式=a^2-4・2・(a-3)=a^2-8a+24=(a-4)^2+8>0なので、α、βは異なる実数)

S=∫[α→β]{x^2-(-x^2+ax+3-a)}dx
=∫[α→β](2x^2-ax+a-3)dx
=(1/6)・2(β-α)^3  ← 1/6公式

ここで、α、βは、[ a±√{a^2-4・2・(a-3)} ]/4 = { a±√(a^2-8a+24) } /4 (ただし、復号のマイナスがα、プラ...続きを読む

Q対数について教えてください

よろしくお願いします。

log[4]9
= log[2]9 / log[2]4
=log[2]9 / 2
= log[2]9^(1/2)
= log[2]3

これは正しいでしょうか?

log[2]9 / 2ならば、
= log[2]9x1/2ではないのですか?

教えていただけますか?

Aベストアンサー

log[4]9 = {log[2]9}/{log[2]4} = {2log[2]3}/{2log[2]2} = log[2]3

>log[2]9 / 2ならば、
>= log[2]9x1/2ではないのですか?

{log[2]9}/2 = (1/2)・log[2]9 = (2/2)・log[2]3

と考えたらどうでしょうか。

Q3/6a+9を約分すると、2a+3になりますよね?

3/6a+9を約分すると、2a+3になりますよね?

Aベストアンサー

はい。

(6a + 9)/3
= 6a/3 + 9/3
= 2a + 3


3/6a+9
だと
 (3/6)a + 9

 3/(6a) + 9
としか読めません。
どちらか分からないという点で、失格な書き方です。

ましてや
 3/(6a + 9)
とは絶対に読めません。
なお、これは「3」が分子で、「(6a + 9)」が分母です。
画像に手書きしたものとは、分子と分母が逆です。

Q指数を優先する?

31.4*10^-1は、3.14です。グーグルの検索欄で計算を行っても3.14となります。
ところでこれは、指数を先に計算しているから、つまり10^-1(1/10)を先に計算しているから3.14となります。
これは、計算において指数が在ったらそれを先に計算すべきだからでしょうか。(31.4*10)^-1とでもしない限りは、指数から先に計算すべきでしょうか。

Aベストアンサー

確か計算の優先順位は
1.指数計算
2.積と商
3.和と差
の順次で
同じ順位は基本的には左からだが
指数のときは右から先にやる
だったとおもいます。

Q数学 図形と方程式について

画像の問題を解いているのですがわからず苦戦しています。
最小値の求め方を教えてください。

Aベストアンサー

最大値は1。
ほとんどできているのですよね。あと一歩なんだよ!
x²+y²=1 ①
y=2x+a ②

①のグラフは描けていますよね。
②のグラフを描いて、aの値(y切片)が最小になるのは、②が①の接線になるとき。
つまり、②を①に代入して
x²+(2x+a)²=1
整理をして 5x²+4ax+a²-1=0 これの判別式が0のとき接線(重根)になるので、
D=-4k²+20=0 ∴k=±√5
ここでk<0 ∴ k=√5 (←最小値)

Q√6=√(-2)(-3)=√(-2)√(-3)=√2i√3i=-6 この計算のどこがおかしいですか?

今高校数学2 複素数と二次方程式 の範囲を勉強しているのですが、
√6=√(-2)(-3)=√(-2)√(-3)=√2i√3i=-√6  
この式のどこが間違っているのか分かりません!教えて下さい!
ご回答宜しくお願いします!

Aベストアンサー

質問者は、多分、複素関数の話をしたいのではないと思います。
-----------------------------------------------
>素数という概念内では根号の中身が負になってもいいのかなと
>思っていたのですが、違うのですか?ご回答宜しくお願いします!

複素数まできちんと学んでいますね?
根号の中身は負で大丈夫です。自信をもってください。
これまでは根号の中身が負の数はNGでした。
これからは、根号の中身が負であってもOKです。
-------------------------------------------------
でも「負の数の根号」とがOKなことと
「負の数の根号」×「負の数の根号」の“計算”が
今まで通りOKなことは違うということです。

つまり、根号の中身が負のときには
√a × √b = √ab 
とは計算してはいけないということ。

数学Ⅰの教科書を見てください。
性質★ a>0 b>0 のとき √a × √b = √ab
と書いてありますよね!

√6=√(-2)(-3)=√(-2)√(-3)=√2i√3i=-√6 

の計算式では左から2つめの=が誤っていて、それ以外の=は正しいです。
--------------------------------------------------

No4の回答について

> √(ー2)(ー3)=√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=√(ー1)²√2√3=√2√3=√6 だから。 ☆

2つ目の=と3つ目の=が計算の性質★に違反しています。

>この部分を√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=i√(2)i√(3)としてはダメな理由を教えて頂けませんか?
ダメでなく、正しいです。(これは自信を持ってください!)
でも数式☆では2つめの=がNGだから、√6とは等しくありませんね!

質問者は、多分、複素関数の話をしたいのではないと思います。
-----------------------------------------------
>素数という概念内では根号の中身が負になってもいいのかなと
>思っていたのですが、違うのですか?ご回答宜しくお願いします!

複素数まできちんと学んでいますね?
根号の中身は負で大丈夫です。自信をもってください。
これまでは根号の中身が負の数はNGでした。
これからは、根号の中身が負であってもOKです。
-------------------------------------------------
でも「負の数の根号」と...続きを読む

Q中2数学の問題に対する質問です。

閲覧ありがとうございます。「正の整数aは4の倍数で、7で割ると2余る数である。√576-aが正の整数となるようなaの値を求めなさい。」という問題が出ましたが、分かりませんでした。どなたか説明宜しくお願いします。

Aベストアンサー

aは4の倍数
 a=4k (kは自然数)
aは7で割ると2余る
 a=7l+2 (lは自然数)

よって、
4k=7l+2
この式の一つの解が、k=4、l=2 なので
4k=7l +4×4 -7×2
4(k-4)=7(l-2)
4と7は互いに素なので、この式の一般解は、nを任意の整数として
k-4=7n とできるので
 k=7n+4
l-2=4(k-4)/7 =4(7n)/7=4n なので
 l=4n+2
となります。(これをディオファントス方程式といいます)

したがって、aは
a=4(7n+4)=28n+16
と表すことができます。

n=0 のとき a=16
n=1 のとき a=44
n=2 のとき a=72
n=3 のとき a=100

nは0以上の整数を考えればよい …①

次に、√(576-a)が正の整数なのだから
576-a =576-(28n+16)
=560-28n
=28(20-n)
=2×2×7×(20-n)
これが同じ因数を2個ずつ持つ必要があるから、少なくとも
(20-n)が因数に7を持つ必要がある …②

したがって、二つの条件を満たすnは13のみであることがわかります。
ゆえに、aは
a=28n+16=28×13 +16=364+16=380
だと求まりました。


----------
上の解答では中学生レベルの数学ではありませんね。

他の方が言うように、
576=24^2 なのだから
23以下の二乗をリストアップして、そこからaを求めて、
「4の倍数」と「7で割ると2余る数」の両方の条件を
同時に満たすものを見つけたほうが良いのではないでしょうか。
電卓を使えばそれほど難しい計算でもないですからね。

aは4の倍数
 a=4k (kは自然数)
aは7で割ると2余る
 a=7l+2 (lは自然数)

よって、
4k=7l+2
この式の一つの解が、k=4、l=2 なので
4k=7l +4×4 -7×2
4(k-4)=7(l-2)
4と7は互いに素なので、この式の一般解は、nを任意の整数として
k-4=7n とできるので
 k=7n+4
l-2=4(k-4)/7 =4(7n)/7=4n なので
 l=4n+2
となります。(これをディオファントス方程式といいます)

したがって、aは
a=4(7n+4)=28n+16
と表すことができます。

n=0 のとき a=16
n=1 のとき a=44
n=2 のとき a=72
n=3 のとき a=100

nは0以上の整数...続きを読む


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