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区別のないn個の玉を区別のないm個の箱に入れる場合の数を求める時に、いちいち紙に絵を書いていっているとよくミスをします。
このような問題を数式でズバッと一発で出す公式というのはないのでしょうか?
たとえないのだとしたら、このような問題を解く際に必要な考え方という一般的な手はないのでしょうか?
どなたか教えてください。よろしくお願いします。

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A 回答 (7件)

m4cvpさん、今晩は。


これは結局nをm個以下の
自然数に分割する、所謂自然数分割問題の
特殊な場合ですね。

直接的な公式はまだ知られていません。
ので、漸化式を使って、しこしこ計算する事になります。
なお、m個以下と書いたように空っぽの箱が無い場合も
許すと解釈しましたが合っていますか。
どちらでも、本質は変わりませんが。
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この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
なんだかよくわからなくなってきましたが・・・
そのようにとらない場合ととる場合とでは、どう違うのでしょうか?

お礼日時:2004/09/12 23:35

#1です。


問題をとり違えてしまい大変申し訳ありませんでした。
graphaffineさんのおっしゃる通り、ズバッと一発で出す公式はありませんから、大学受験の範囲では、きちんと数え上げるしかありません。

このような問題は、ダブったり、漏らしたりしないように、大きい数(または小さい数)から順に考えていくのが一般的なやり方です。
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すみません、間違いを訂正します。



誤:なお、m個以下と書いたように空っぽの箱が無い場合も

正:なお、m個以下と書いたように空っぽの箱が有る場合も

なお、前の質問で自然数分割問題である事は答えていましたね。

>そのようにとらない場合ととる場合とでは、どう違うのでしょうか?

空っぽの箱がある場合と無い場合でどう違うかと言う事ですか。明らかだと思いますが。それとも私の間違いで混乱したのでしょうか。

また、自然数分割の特殊な場合と言ったのは、通常は項数(箱の数)が限定されていないからです。
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2,2,2,2,2 も抜けましたねぇ・・・。


あさはかでした。(T_T)
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1,2,2,2,3 が抜けましたね。

あまり、いい方法じゃないかーー (T_T)
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例えば5個の玉を3個の箱に入れるとしたら、


1,1,3  1,3,1  3,1,1
以上は、同じで一通りと数えるってことですよね。
この、n,mは具体的な整数が与えられて、設問が作られるということですか?

m個の箱について、中身の小さい箱の順に並べるかえると考えて、
N1≦N2≦N3・・・・≦Nm
という法則を決めて、数えるといいのではないでしょうか。
例えば10個の玉、5個の箱だったら、
1,1,1,1,6
5番目の箱から1個減らすと
1,1,1,2,5
このとき、4番目の箱から減らすと、小さい順がくずれるのでおしまい。また、5番目の箱から1個減らすと、
1,1,1,3,4
4番目の箱を減らすと、
1,1,2,2,4
3番目・4番目の箱から減らすと、小さい順がくずれるのでおしまい。また、5番目の箱から1個減らすと、
1,1,2,3,3
3番目・4番目・5番目の箱から1個減らすと、小さい順がくずれる。これで全部おしまい。

あ・・・・。0個があってもいいのでしたっけ、それは、自分で考えてみてください。
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いわゆる重複組み合わせですね。



m個の箱から重複を許してn個取ると考えれば、
H[m,n]=C[m+n-1,n]
で求めることが出来ます。
(取った箱の数に対応させて玉をその箱に入れると考えます)


ここでは、n個の○とm-1個の仕切り|の順列で考えるのが一般的な手法です。
たいていの参考書に載っていると思います。
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この回答へのお礼

あれ?重複組み合わせは「玉を区別しないで箱を区別する」時に使うのではないでしたっけ。
確かそうだった気がしますが・・・

お礼日時:2004/09/12 17:22

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Q高校数学の場合の数の問題です。

nを自然数とする、n個のボールを3つの箱に分けて入れる。次のように入れる入れ方は何通りあるか。ただし、一個のボールも入らない箱があっても良いものとする。
(1)1からnまで異なる番号のついたn個のボールを、A、B、Cと区別された3つの箱に入れる
(2)互いに区別のつかないn個のボールを、A、B、Cと区別された3つの箱に入れる
(3)1からnまで異なる番号のついたn個のボールを、区別のつかない3つの箱に入れる


やり方も含めて教えていただけると助かりますm(__)m

Aベストアンサー

(1)
どのボールも3通りの入れ方があるので、3^n通り・・・答え
(2)
(ア)どの箱にも最低1個のボールを入れる入れ方は、一列に並べた
n個のボールを三つに分ける分け方(n-1)C2=(n-1)(n-2)/2通り
(イ)二つの箱にボールを二分して入れる入れ方は、二つの箱の選び方
3C2×一列に並べたn個のボールを二つに分ける分け方(n-1)C1
=3(n-1)通り
(ウ)一つの箱だけにボールを入れる入れ方は3C1=3通り
以上から(ア)+(イ)+(ウ)=(n-1)(n-2)/2+3(n-1)+3=(n^2+3n+2)/2
=(n+1)(n+2)/2通り・・・答え
(3)
(1)の答え3^n通りの内訳は
(ア)一つの箱だけにボールを入れる入れ方:3通り
(イ)二つの箱にボールを二分して入れる入れ方:3C2(2^n-2)
=3(2^n)-6通り
(ウ)どの箱にも最低1個のボールを入れる入れ方:
3^n-3-{3(2^n)-6}=3^n-3(2^n)+3通りである。
3つの箱の区別がつかない場合、
(ア)は1/3に、(イ)は(1/3)(1/2)=1/6に、(ウ)は1/3!=1/6になるので、
3(1/3)+{3(2^n)-6}/6+{3^n-3(2^n)+3}/6=(3^n+3)/6通り・・・答え

(1)
どのボールも3通りの入れ方があるので、3^n通り・・・答え
(2)
(ア)どの箱にも最低1個のボールを入れる入れ方は、一列に並べた
n個のボールを三つに分ける分け方(n-1)C2=(n-1)(n-2)/2通り
(イ)二つの箱にボールを二分して入れる入れ方は、二つの箱の選び方
3C2×一列に並べたn個のボールを二つに分ける分け方(n-1)C1
=3(n-1)通り
(ウ)一つの箱だけにボールを入れる入れ方は3C1=3通り
以上から(ア)+(イ)+(ウ)=(n-1)(n-2)/2+3(n-1)+3=(n^2+3n+2)/2
=(n+1)(n+2)/2通り・・・答え
(3)
(1)の答え3^n通りの内訳は
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ここで、箱の区別を外す際、A,B,Cそれぞれに6個入る3通りと、A,B,Cそれぞれに2個入る1通り、について区別出来ないので、28ー3-1=24通り---(2)

よって、24/6!=4通り---(3)

(3)に6個入る1通りと、それぞれに2個入る1通りを戻して、

4+1+1=6通り(答え)、と成りました。

参考書には載ってないので、答えが確認出来ません!!!

何方か、合っているか、もしくは間違っている場合、添削をお願い致します。m(__)m

Aベストアンサー

重複組み合わせで3H6=28通りとするところまでは合っていますが、そのあとが間違い。

28通りを次の3つグループに分けます。
(1) 3つの箱に入っている玉の数がすべて同じ場合
(2) 2つの箱に入っている玉の数が同じで、もう1つの箱の玉の数が違う場合
(3) 3つの箱に入っている玉の数がすべて違う場合

(1)は(2,2,2)の1通り
(2)は(0,0,6),(1,1,4),(3,3,0)がそれぞれ3通りづつなので、計9通り
(3)は上記10通りを除いた18通り

求める数は、
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