玉も箱も区別しない組合せ

Question

区別のないn個の玉を区別のないm個の箱に入れる場合の数を求める時に、いちいち紙に絵を書いていっているとよくミスをします。
このような問題を数式でズバッと一発で出す公式というのはないのでしょうか？
たとえないのだとしたら、このような問題を解く際に必要な考え方という一般的な手はないのでしょうか？
どなたか教えてください。よろしくお願いします。

graphaffine · Accepted Answer

m4cvpさん、今晩は。
これは結局ｎをｍ個以下の
自然数に分割する、所謂自然数分割問題の
特殊な場合ですね。

直接的な公式はまだ知られていません。
ので、漸化式を使って、しこしこ計算する事になります。
なお、ｍ個以下と書いたように空っぽの箱が無い場合も
許すと解釈しましたが合っていますか。
どちらでも、本質は変わりませんが。

hiro1122 · Answer

＃１です。
問題をとり違えてしまい大変申し訳ありませんでした。
graphaffineさんのおっしゃる通り、ズバッと一発で出す公式はありませんから、大学受験の範囲では、きちんと数え上げるしかありません。

このような問題は、ダブったり、漏らしたりしないように、大きい数（または小さい数）から順に考えていくのが一般的なやり方です。

graphaffine · Answer

すみません、間違いを訂正します。

誤：なお、ｍ個以下と書いたように空っぽの箱が無い場合も

正：なお、ｍ個以下と書いたように空っぽの箱が有る場合も

なお、前の質問で自然数分割問題である事は答えていましたね。

＞そのようにとらない場合ととる場合とでは、どう違うのでしょうか？

空っぽの箱がある場合と無い場合でどう違うかと言う事ですか。明らかだと思いますが。それとも私の間違いで混乱したのでしょうか。

また、自然数分割の特殊な場合と言ったのは、通常は項数（箱の数）が限定されていないからです。

noname#8027 · Answer

2,2,2,2,2　も抜けましたねぇ・・・。
あさはかでした。(T_T)

noname#8027 · Answer

1,2,2,2,3　が抜けましたね。あまり、いい方法じゃないかーー　(T_T)

noname#8027 · Answer

例えば５個の玉を３個の箱に入れるとしたら、
1,1,3　　1,3,1　　3,1,1
以上は、同じで一通りと数えるってことですよね。
この、ｎ，ｍは具体的な整数が与えられて、設問が作られるということですか？

ｍ個の箱について、中身の小さい箱の順に並べるかえると考えて、
N1≦N2≦N3・・・・≦Nm
という法則を決めて、数えるといいのではないでしょうか。
例えば１０個の玉、５個の箱だったら、
1,1,1,1,6
５番目の箱から１個減らすと
1,1,1,2,5
このとき、４番目の箱から減らすと、小さい順がくずれるのでおしまい。また、５番目の箱から１個減らすと、
1,1,1,3,4
４番目の箱を減らすと、
1,1,2,2,4
３番目・４番目の箱から減らすと、小さい順がくずれるのでおしまい。また、５番目の箱から１個減らすと、
1,1,2,3,3
３番目・４番目・５番目の箱から１個減らすと、小さい順がくずれる。これで全部おしまい。

あ・・・・。0個があってもいいのでしたっけ、それは、自分で考えてみてください。

hiro1122 · Answer

いわゆる重複組み合わせですね。

ｍ個の箱から重複を許してｎ個取ると考えれば、
Ｈ[ｍ,ｎ]＝Ｃ[ｍ＋ｎ－１，ｎ]
で求めることが出来ます。
（取った箱の数に対応させて玉をその箱に入れると考えます）


ここでは、ｎ個の○とｍ－１個の仕切り｜の順列で考えるのが一般的な手法です。
たいていの参考書に載っていると思います。

玉も箱も区別しない組合せ

m4cvpさん、今晩は。

＃１です。

すみません、間違いを訂正します。

2,2,2,2,2 も抜けましたねぇ・・・。

1,2,2,2,3 が抜けましたね。

例えば５個の玉を３個の箱に入れるとしたら、

いわゆる重複組み合わせですね。

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