二項定理教えて下さい！ 等式の問題が分かりません。(2)(3)の解き方を教えて下さい！よろしくお願い

二項定理教えて下さい！
等式の問題が分かりません。(2)(3)の解き方を教えて下さい！よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/11/17 12:17

「二項定理」そのものが理解できていない？

だったら、教科書なりこちらで復習してください。
https://mathtrain.jp/nikouteiri

まあ、多項式を n 乗したときの、各々の項の係数がこうなる、という事実関係を「整理した」定理です。一度証明してしまえば、あとは「そういうものだ」として活用すればよい。

(2)(3) は、そこに書いてあるとおり (1 + x)^n に二項定理を適用し、その上で x=1 と置いています。
ただし、(2)(3) とも二項定理がメインではなく、証明したい式を (1) の結果を使っていかに変形するかがポイントです。

(2) では、まず証明したい式を、 (1) で証明した
　k * nCk = n * (n-1)C(k-1)
を使って
　n * (n-1)C0 = 1 * nC1 　　←上の式で k=1
　n * (n-1)C1 = 2 * nC2 　　←上の式で k=2
　n * (n-1)C2 = 3 * nC3 　　←上の式で k=3
　・・・
　n * (n-1)C(n-1) = n * nCn 　　←上の式で k=n
で変形しています。
これらの右辺を足し合わせたものが証明したい式だということが分かりますか？

これで上記の左辺の和に変換したものが７行目で、これに４行目の二項定理から求めた式を適用しています。

(3) は同様に、(1) を使って
　k * nCk = n * (n-1)C(k-1)　　　①
この右辺に再度 (1) を使って（つまり、k→k-1, n→n^1 にして）
　(k-1) * (n-1)C(k-1) = (n-1) * (n-2)C(k-2)　　　②
ちょっと複雑ですが、②から
　(n-1)C(k-1) = [ (n-1)/(k-1) ] * (n-2)C(k-2)
にして①に代入すれば
　k * nCk = n * {[ (n-1)/(k-1) ] * (n-2)C(k-2)}
なので、両辺に (k-1) をかけて
　k(k-1) * nCk = n(n-1) * (n-2)C(k-2)

証明したい式は、この左辺を k=2～n まで足し合わせたものです。
それを右辺の和に変換したものが８行目で、これに４行目の二項定理から求めた式を適用しています。

この回答へのお礼

今日、解き直して、式の変形の問題と気づきました。丁寧な説明ありがとうございました＼(^^)／

お礼日時：2017/11/17 23:45