高校数学の問題です。円周を12等分した点を反時計回りの順P1P2P。。。P12とする、このうち異なる

高校数学の問題です。円周を12等分した点を反時計回りの順P1P2P。。。P12とする、このうち異なる3点を選び、選んだ3点を頂点とする三角形を作る。
（1）三角形は全部で何個できるか、また、このうち正三角形、および直角三角形はそれぞれ何個できるか。
（2）二等辺三角形（正三角形も含む）となる確率を求めよ。
（3）鋭角三角形となる確率を求めよ。
（4）三角形のうち合同であるものを一種類と数えることにする。このとき、何種類の三角形ができるか。例えば。△P1P2P3とΔP2P3P1は合同な三角形であるため、一種類と数え、△P1P2P3と△P1P3P4は合同でないため二種類と数える。

この問題の⑶⑷を教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2017/12/19 23:14

(1)

i) 一般の三角形は12点中3点を選ぶと
12C3=12・11・10/3・2・1=220 //
ii) 正三角形は1つの頂点が決まると他の頂点は確定するので、被りを省くと
12/3=4 //
iii) 直角三角形の斜辺は直径である。直角の頂点は残りの点となる。
直径は6本引け、残った点はそれぞれ10個あるので
6・10=60 //

(2) 二等辺三角形の頂角の反対側は等角とはなり得ない。対称性を考慮すると1つの等角となり得るのは5つである。よって
12・5=60
この時、5つ目以降の頂角では正三角形は被っているので
60-8=52
よってその確率は
52/220=13/55 //

(3) 鋭角三角形のどの一辺も直径であってはならない。また、1つの弦を1辺とした時、残りの頂点はその弦の両端の反対側に位置する2点の間に取らなければならない。

i) 隣接する2点間の弦を1辺とすると第3の頂点をどこにとってもどちらかの頂点は直角か劣弧側にきてしまうので不適。
ii) 弦の間に1点空けると、第3の頂点はその反対側1点である。この様な弦は12本引けるので
12・1=12
iii) 弦の間に2点空けると、第3の頂点も2点選べる。この様な弦は12本引けるが全て2回ずつ数えられるので
12・2/2=12
iv) 弦の間に3点空けると、第3の頂点も3点選べる。その内1つは正三角形であり、他の2点を選ぶと iii と被る。よって該当するのは
12/3=4
v) 弦の間に4点空ける場合は、既に数え終わっているものばかりである。
vi) 弦の間に5点空けると直径となるので不適。
よって、
12+12+4=28
28/220=7/55 //

(4) 1つの頂点をP1に固定して考える。
i) 第2の頂点がP2の場合、第3の頂点はP3〜P7まで考えられる。P8〜P12は対称な合同図形となるので被る。よって5通り。
ii) 第2の頂点がP3の場合、第3の頂点をP4とすると i と被る。よって第3の頂点はP5〜P8までである。よって4通り。
iii) 第2の頂点がP4の場合、第3の頂点がP5, P6のケースは既に数え終わっている。よって第3の頂点はP7とP8の2通り。
iv) 第2の頂点がP5の場合、第3の頂点がP6〜P8のケースは既に数え終わっている。よって第3の頂点はP9の1通り。
v) 第2の頂点がP6以降のケースは既に数え終わっている。

5+4+2+1=12 //

この回答へのお礼

⑶のこたえが2/11なのですが間違っていませんか？

お礼日時：2017/12/20 00:24

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2017/12/20 01:36

(3) iii) 勘違いしてました。

被りありませんね。
12・2=24

12+24+4=40
40/220=2/11 //

ですね。