級数の和

無限級数Σ[n=1,∞]n/2^nの和を求めた所、画像の様になりました。本当の答えは「2」で多分、紫の線辺りから間違ってると思います。どこがどの様に間違っているか教えて欲しいです。

質問者からの補足コメント

• 思ったより画質が悪かったので…

  
    補足日時：2018/01/04 22:49

• 続きです

  
    補足日時：2018/01/04 22:50

No.2 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2018/01/05 13:05

初歩的？

1/(1ー(1/2))ではなくて、(1ー(1/2)^n)/(1ー1/2) よって
(1/2)S n=2ー2(1/2)^nーn/2^n+1 →2 (n→∞)

微分でする方法も考えたが計算が大変でギブアップ！そこで、
部分和分法で解けば
Σ 1…∞ n・2^-n と考えると、=∫ 1…∞ x・2^-x ⊿x において
2^-x の差分をとると、⊿ 2^-x=2^-(x+1) ー 2^-x=(1/a)a^-x ーa^-x=(1/a ー1)a^-x
よって 和分 ∫ 2^-x⊿x=2/(1-2)・2^-x=ー2^(-x+1) より
f(x)=x ,⊿g(x)=2^-x とすると g(x)=∫ 2^-x ⊿x=ー2^(-x+1)
⊿f(x)=1 ,g(x+1)=ー2^-x から
=［x(ー2^(-x+1) ］∞…1 ー∫ 1…∞ 1・(ー2^-x )⊿x
=0+1+［(ー2)^(-x+1)］∞→1 =1+1=2

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2018/01/05 13:28

すみません！公式で、初項=1/2 が抜けています！(1/2)S n →1/2・2=1 で、2でOK！

この回答へのお礼

教えてくださりありがとうございます！！

お礼日時：2018/01/05 20:07

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/01/04 22:57

④のところは違っているようです。

1/2+1/4+・・・＋1/2^nは初項1/2公比1/2項数ｎの等比数列の和として公式に当てはめてみてください。＾＾￥