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図のように一端が回転支持され、他端に質量mを有する棒のA店がバネ定数kのバネで支えられた時の棒の回転

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  • 質問者：vm
  • 質問日時：
  • 回答数：3件

図のように一端が回転支持され、他端に質量mを有する棒のA店がバネ定数kのバネで支えられた時の棒の回転運動の方程式を導き方と、これの固有振動数の求め方を教えてください！

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A 回答 (3件)

No.3ベストアンサー

  • 回答者： syotao
  • 回答日時：

この問題の場合、棒のOのまわりの微小回転の振動数を求めることなのでは？


ならば
この棒とMの系を剛体とみなして固定点Oのまわりの運動方程式をたてるとき
慣性モーメントは棒の質量を無視するとしてｍR²となります。
つぎに棒の鉛直下向きに対する回転角をθとすればMに作用する重力ｍｇのOのまわりのモーメントは
－MｇRsinθですがθが小さければsinθ≒θと近似できるのでこのモーメントは、－ｍｇRθになります。
A点の変位はθが小さい場合水平方向にｒθと近似できるのでバネの力の大きさはは水平方向に
ｋｒθとなりバネの力のOのまわりのモーメントは、－ｋｒ²θになります。
したがって方程式は
ｍR²(d²θ/dt²)＝－(ｍｇR＋ｋｒ²)θ　となり
これは振動数ｆ＝ω/２π、ω²＝(ｍｇR＋ｋｒ²)/(ｍR²)　の単振動です。
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No.2

  • 回答者： yhr2
  • 回答日時：

No.1です。

もう少し厳密に書くと

　I * d²θ/dt² = - kr*sinθ - MgR*cosθ

かな。
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No.1

  • 回答者： yhr2
  • 回答日時：

点Oを中心に回転する場合の、棒とおもりの慣性モーメントを I 、棒の中立位置からの角度を θ （上側を正）として、運動方程式は



　I * d²θ/dt² = - krθ - MgR

です。

ここから先は、簡単には解けないかな。詳しい方にお任せします。
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= 1/2 ml^2θ'^2 - mglθ -1/2 kx0^2 + 1/2 kx0lθ - 1/8 kl^2θ^2
= 1/2 ml^2θ'^2 -1/2 kx0^2 - 1/8 kl^2θ^2

第２項は定数なので捨ててよく，

L = 1/2 ml^2θ'^2 - 1/8 kl^2θ^2

あとは，できますね？

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Aベストアンサー

こんばんは。
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左側のバネの伸び x1
右側のバネの伸び x2
質量mが先についている棒と水平方向のなす角度をθとする

微小変位なので、
　sinθ = tanθ = (x1-x2)/l
という関係があります。

すると、
　質量mの変位y = バネBの伸び + 2l{(x1-x2)/l} = x2 + 2(x1-x2) = 2x1-x2
　速度v = dy/dt = 2・x1' - x2'
　運動エネルギー T = (1/2)・mv^2 = (1/2)・m・(2・x1' - x2')^2
　= (m/2)・(4・(x1')^2 -4・x1・x2 + (x1')^2)

一方、バネのポテンシャル・エネルギーUは
　U = (1/2)・k(x1)^2 +(1/2)・k(x2)^2

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右側のバネの伸び x2
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　sinθ = tanθ = (x1-x2)/l
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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

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