二回微分して 上に凸下に凸 が分かると言うのが理解出来ません どなたかかなり丁寧に解説をお願いします

二回微分して 上に凸下に凸
が分かると言うのが理解出来ません
どなたかかなり丁寧に解説をお願いします

質問者からの補足コメント

• f’’(x)>0
  であるならば
  下に凸になる意味が分かりません
  お教えください

    補足日時：2018/01/21 09:16

No.1 ベストアンサー 回答者： mabuterol 回答日時： 2018/01/20 22:12

質問の文章が、数学として成立していないので、

確かに数学が非常に苦手なんだろうという事が、良く分かります。

空気を読んで回答すると、

あなた f(x) = a ^2 + b x + c なる２次関数がある時に、
a > 0 なら下に凸で、a < 0 なら上に凸なんだけど、それは分かります？

No.3 回答者： tosa0824 回答日時： 2018/01/21 10:14

f(x)=x^3-x

f'(x)=3x^2-1
f''(x)=6x

x=0のときf'(0)=-1 f''(0)=0
x=1のときf'(1)=2 f''(1)=6
x=2のときf'(2)=11 f''(2)=12

このf(x)の場合、x=0より大きいxでは、f''(x)がプラスになります。

f''(x)がならば、f'(x)は増加することになります。
(f'(x)がプラスならばf(x)が増加するのと全く同じ理屈です)

xが0,1,2と増えるに従って、f'(x)は-1,2,11と増えています。f'(x)はf(x)の傾きを表すので、傾きがだんだん増えていくことになります。
傾きがだんだん増えていく曲線を描くと、その曲線は、下に凸になります。

No.2 回答者： tosa0824 回答日時： 2018/01/20 23:10

例えばあらかじめf(x)=0の答えがわかっている3次関数を使って説明します。

f(x)=x(x-1)(x+1)=x(x^2-1)=x^3-x

とすると、一階微分は、

f'(x)=3x^2-1

一階微分がその瞬間の傾きを表すのは分かると思います。

f'(x)=0の点は、x=±1/√3
なので、f'(x)は、-1/√3 を境にプラスからマイナス、1/√3を境にマイナスからプラスに変わります。f'(x)が正ならf(x)は増加、負なら減少で、f'(x)=0の所はf(x)の傾きがゼロの所です。

次に二階微分は

f''(x)=6x

これはx=0を境にf''(x)がマイナスからプラスに変わることを示しています。

f''(x)がマイナスとはどういうことか？

それはf'(x)が、xが増加するに伴って減っていくことを意味します。なぜなら、

x=-2のときf'(-2)=11, f''(-2)=-12
x=-1のときf'(-1)=2, f''(-2)=-6
x=0のときf'(0)=-1, f''(0)=0
x=1のときf'(1)=2, f''(1)=6
x=2のときf'(2)=11, f''(2)=12

x=-2,-1,0と進むに従って、f'(x)は減っていってますよね。
f'(x)はf(x)の傾きなので、f(x)の傾きがだんだん減っていくことになります。
傾きが段々減っていく曲線を描いてみてください。どんな曲線になりますか？
それはグラフで表すと、上に凸ということになります。つまり、f(x)がx<0の領域では上に凸ということです。

同じようにしてx>0ではf''(x)が正なので、
f(x)の傾きがだんだん増えていきます。
それをグラフで表すと、下に凸ということになります。つまり、f(x)がx>0の領域では下に凸ということです。