有理数係数での因数分解について（３）

有理数係数の多項式f(x),g(x)に対し、次の命題の証明または反例をお願いします：
f(x),g(x)が有理数係数で因数分解できずg(x)が一次式なら、f(g(x))は有理数係数で因数分解できない

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/02/05 13:22

一次式は「因数分解できない」のだろうか, それとも「すでに因数分解されている」とみるべきなんだろうか, どっちだろう.

どっちにしても成り立つけど.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます

有理数係数の一次式は有理数係数で因数分解できません
ここでいう「有理数係数で因数分解できない有理数係数の多項式」とは
「有理数体上の既約多項式」を意図しています

成り立つのであれば証明をよろしくお願いいたします

お礼日時：2018/02/05 18:06

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/02/05 19:41

h(x) = f(g(x)) とおくと h(x) も有理数係数多項式になる. そして, h(x) が有理数上因数分解できるなら任意の有理数係数一次多項式 g'(x) に対して h(g'(x)) も有理数上因数分解できる.

だから h(g'(x)) = f(x) となる g'(x) をうまくとればいい.

この回答へのお礼

ありがとうございます
意味はわかったので清書しておきます：
g(x)=ax+b (a,bは有理数、a≠0)とおき
f(ax+b)=p(x)q(x) (p(x),q(x)は定数でない有理数係数の多項式)
のように因数分解できると仮定する
ax+b=yとおくとx=y/a-b/a
f(y)=p(y/a-b/a)q(y/a-b/a)
つまり、f(g(x))が因数分解できるならf(x)も因数分解できる
これは示したい命題の対偶である

お礼日時：2018/02/05 21:08