555番の問題で質問します xがきれいに出ない時は単調に増加にすればいいのではないのですか？ どうし

555番の問題で質問します

xがきれいに出ない時は単調に増加にすればいいのではないのですか？
どうして割り算をして求めるのでしょうか？
単調に増加と答えるときと割り算をして求める時の違いを教えてください

数学 サクシード

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/02/13 16:29

＞xがきれいに出ない時は単調に増加にすればいいのではないのですか？

＞どうして割り算をして求めるのでしょうか？
＞単調に増加と答えるときと割り算をして求める時の違いを教えてください

質問の趣旨がよく分かりません。

「極大値」「極小値」を求めるのには、
　f(2 + √5)
　f(2 - √5)
を式から求めればよいのですが、3乗までして計算するのは大変なので、
　f'(x) = 0
を利用して
　f(x) = (x - 2)f'(x) - 10x + 3
と変形することで、
「-10x + 3」
の計算で極値を求めちゃおう、とずる賢いことをしているだけです。


＞単調に増加にすればいい

何の話をしているのかよく分かりません。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/02/17 09:37

関数ｆ(ｘ)＝ｘ^3－6x^2－3x+5の極値を求めよ＿＿(1)

式(1)の関数の極値を求める方法は次の４つの手順で行います。
１、f(x)を微分して、f(x)の増減を表すｆ' (x)を求める。(1)を微分し(2)が出る。
ｆ' (x)＝3ｘ^2－12x－3＿＿(2)
２、極値の所ではｆ'(x)＝０となるので、方程式ｆ'(x)＝０を解いて極値のｘを出す。
3ｘ^2－12x－3＝０＿＿＿ｘ^2－4x－1＝０＿＿(3)
この問題のようにf(x)が3次なら、ｆ' (x)は2次式だから、2次方程式(3)を解くことになる。
(x－2) ^2＝5＿＿x＝2±√5＿＿(4)
３、ｘが出たら、ｆ(x)を計算すると極大値または極小値が出る。
x＝2±√5を式(1)に代入すると
ｆ(ｘ)＝ｘ^3－6x^2－3x+5＝(2±√5)^3－6(2±√5)^2－3(2±√5)+5＿＿(5)
そのまま計算するのはウンザリ。式(3)からｘ^2＝4x+1＿＿これをｘ^3に入れ、
次に－2x^2に入れます。
ｆ(ｘ)＝ｘ(4x+1)－6x^2－3x+5＝－2x^2－2x+5＿＿（さらに－2x^2に入れる)
＝－2(4x+1)－2x+5＝－10x+3＝－10(2±√5)+3＝－17±10√5＿＿(6)
＞どうして割り算をして求めるのでしょうか？
式(6)の中の－10x+3を出すのに割り算を使ったが、上記、割り算は使わない方がラク。
４、式(6)の結果が極大か極小か、あるいは最大値か最小値かの判定は、さらにｆ''(x)の符号を調べる、またはｘの前後のｆ' (x)の符号の変化を調べる。
ｆ' ' (x)＝6ｘ－12は、ｘ＝2より上では+下では－だから、ｘ＝－17－10√5は極大で、極大の隣りは極小。
ｆ' (x)の符号はｘ＝－∞の側から順に+|－|＋、ｆ(x)は増加|減少|増加と変化する。
また、ｘの実数解がない時は、単調増加または、単調減少である。
＞xがきれいに出ない時は単調に増加にすればいいのではないのですか？
ｆ' (x)＝0の実数解がない時は単調増加または、単調減少になります。単調増加とはかぎりません。
「xがきれいに出ない時」の表現は、通じないので「ｆ' (x)＝0の解がない時」と書いて下さい。
＞単調に増加と答えるときと割り算をして求める時の違いを教えてください。
上記で、解ったと思います。