不等式の証明が分からないです 分かる方お願いします！教えてください(；；)

不等式の証明が分からないです
分かる方お願いします！教えてください(；；)

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/20 20:40

a,b＞0 で

(aー2b)^2≧0
∴ a^2ー4ab+4b^2≧0
∴ a^2ー2ab+4b^2≧2ab
∴(a+2b)( a^2ー2ab+4b^2)≧2ab(a+2b)
∴a^3+8b^3≧2ab(a+b)

No.2 回答者： springside 回答日時： 2018/02/20 22:57

左辺を因数分解すると、a³+8b³=(a+2b)(a²-2ab+4b²)だから、与えられた不等式は、

(a+2b)(a²-2ab+4b²)≧2ab(a+2b)

となり、a+2b>0（∵a>0,b>0）で両辺を割ると、

a²-2ab+4b²≧2ab　※

となる。※の左辺-右辺は、

a²-2ab+4b²-2ab
=a²-4ab+4b²
=(a-2b)²≧0　（等号は、a=2bのとき）

であるから、題意は示された。

No.3 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2018/02/22 15:45

(a+2b)³=a³+6a²b+12ab²+8b³

なので、
a³+8b³=(a+2b)³-(6a²b+12ab²)=(a+2b)³-6ab(a+2b)
これを証明したい式に代入すると

a³+8b³≧2ab(a+2b)
(a+2b)³-6ab(a+2b)≧2ab(a+2b)

ここで a>0,a>0 のとき a+2b>0 だから
両辺を a+2b で割って

(a+2b)²-6ab≧2ab
(a+2b)²-8ab≧0
a²+4ab+4b²-8ab≧0
a²-4ab+4b²≧0
(a-2b)²≧0

ということがわかるので、
これを逆順に並べることで証明ができることになります。
No.1のかたを参考にしてください。


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逆順に並べないやりかたでは
計算途中に不等号を出さないようにしないといけません。

(左辺)-(右辺)
=a³+8b³ -2ab(a+2b)
=(a+2b)³-6ab(a+2b) -2ab(a+2b)
=(a+2b){(a+2b)²-6ab-2ab}
=(a+2b){a²+4ab+4b²-6ab-2ab}
=(a+2b)(a²-4ab+4b²)
=(a+2b)(a-2b)²

a>0, b>0 より
(a+2b)>0, (a-2b)²≧0
したがって
(a+2b)(a-2b)²≧0
となります。（等号はa=2bのとき）

ゆえに、(左辺)≧(右辺) が証明できました。