ガウスの微分方程式の間違った回答のまま締め切られてしまった。修正をしたい。

ガウスの微分方程式
No.1の回答は途中で間違えたので、書き直して、決定方程式まで書いた。式(3)以外の変換の計算が完了してないが一応投稿する。
f(x)=x (1−x)y ″ +(γ−(α + β +1)x)y ′ − α β y = 0＿＿(1)
最初にあなたの計算した変換が最も簡単なので、(2)(3)の変数変換を行う。
ｘ＝ξ^(−1) ＿＿(2)
y=η＿＿(3)
(2)をξで微分すると(4)になるので、No.1で書いたように、ｘで微分する演算子d/dxを(5)とする。
dx/dξ＝−1/(ξ^2) ＿＿(4)
d/dx=(1/(dx /dξ))(d/dξ)= (−ξ^2)d/dξ＿＿(5)
(5)の演算子を使って、(3)を微分してy ′とy ″を計算すると、(6)(7)となる。
y ′＝dη/dx= (−ξ^2)dη/dξ＿＿(6)
y ″＝(−ξ^2)(d/dξ)(−ξ^2)dη/dξ＝(ξ^2)(d/dξ)((ξ^2)dη/dξ)
＝(ξ^2)((2ξ)dη/dξ+(ξ^2)d^2η/dξ^2)＿＿(7)
(1)に(2)(3)(6)(7)を入れて、ξとηの微分方程式(8)にする。
f(x)=x (1−x)y ″ +(γ−(α + β +1)x)y ′ − α β y = 0
=(1/ξ)(1−1/ξ)(ξ^2)((2ξ)dη/dξ+(ξ^2)d^2η/dξ^2)+(γ−(α + β +1)(1/ξ))(−ξ^2)dη/dξ− α βη
=(ξ−1)((2ξ)dη/dξ+(ξ^2)d^2η/dξ^2+(γξ−(α + β +1))(−ξ)dη/dξ− α βη= 0＿＿(8)
式(8)に(−1)をかけて2階微分,1階,0階の順に並べると− f(x)の方程式(9)になる。
− f(x)= (1−ξ)((2ξ)dη/dξ+(ξ^2)d^2η/dξ^2)+(γξ−(α + β +1))ξdη/dξ+ α βη＿＿
= (1−ξ)((ξ^2)d^2η/dξ^2)+(1−ξ)(2ξ)dη/dξ+(γξ−(α + β +1))ξdη/dξ+ α βη
= (1−ξ)((ξ^2)d^2η/dξ^2)+(2−2ξ)ξdη/dξ+(γξ−(α + β +1))ξdη/dξ+ α βη
= (1−ξ)((ξ^2)d^2η/dξ^2)+{(γ−2)ξ−(α + β−1)}ξdη/dξ+ α βη=− f(x)＿＿(9)
(9)はあなたの計算と一致するが、分数は級数解を出すのに邪魔なので、1−ξをかけて分母をはらう。
ηの級数解Σ(λ=0→∞)anξ^(κ+λ)の最低次の項はa0ξ^κで、最低次だけ計算するために
η= a0ξ^κ＿＿(10)＿＿とすると(11)が成立する。
dη/dξ= a0κξ^(κ−1)，d^2η/dξ^2)= a0κ(κ−1)ξ^(κ−2)＿＿(11)＿＿(9)に(10)(11)を入れると
a0(1−ξ)((ξ^2)κ(κ−1)ξ^(κ−2))+a0{(γ−2)ξ−(α + β−1)}ξκξ^(κ−1)+a0α βξ^κ
= a0[(1−ξ)κ(κ−1)(ξ^κ)+{(γ−2)ξ−(α + β−1)}κ(ξ^κ)+ α β(ξ^κ)]=0＿＿(12)
式(12)の括弧を外すと、(ξ^κ)と(ξ^(κ+1))の項が出るが、最低次数だけを計算するために
(ξ^(κ+1))の項は無視すると、(13)になる。a0の係数が0なら、解の初期条件a0を自由にきめても
式(13)が成り立つ。無視した項はa1の項を加えて消せる。a1,a2,･･･の係数を漸化式から決めて(9)を成立させる。(ξ^κ)で割って(14)を得る。
a0[κ(κ−1)(ξ^κ)−(α + β−1)}κ(ξ^κ)+ α β(ξ^κ)]=0＿＿(13)
κ(κ−1)−(α + β−1)}κ+ α β=κ^ 2−κ−(α + β−1)}κ+ α β=(κ−α)(κ− β)=0＿＿(14)
(14)が決定方程式で、根はαとβである。

質問者からの補足コメント

• 質問者：uyama33
  質問日時：2018/02/17 08:27
  からの質問が間違えた回答のまま締め切られてしまった。
  上記のように修正したい。

    補足日時：2018/02/22 15:29

No.2 ベストアンサー 回答者： uyama33 回答日時： 2018/02/23 00:40

回答が付かないのと、教えてグーからの締め切りの催促で

質問を締め切ってしまい、ご迷惑をおかけしたことをお詫びいたします。

丁寧に書いていただき有難うございます。

ｘ＝ξ^(−1) ＿＿(2)
y=η＿＿(3)
この変換だと、
(κ−α)(κ− β)=0＿＿(14)
となって、
α
β
が根になります。
その通りだと思います。

私の計算では、
吉田耕作さんの変換
ｘ＝ξ^(−1) ＿＿(2)
y=(ξ^(−α))η＿＿(3)
だと
0
ーα+β
が根になります。

また
寺沢さんの変換
ｘ＝ξ^(−1) ＿＿(2)
y=(ξ^(α))η＿＿(3)
だと
2α
α+β
が根になります。

これらの根の間の関係は
αーα＝０
βーα＝－α+β
となり、
α+α＝2α
β+α＝α+β
となっている。


わたしは、吉田さんの変換も寺沢さんの変換も
根が　α、β　だと書いてあるのに、そうはならないので間違いだと思っています。

とりあえず、積分方程式論の48ページについては勝手に修正して
今は、96ページを読んでいます。
他のミスプリント20個（？）も勝手に修正していますが、
４８ページの記述はミスプリントとはいえないと思ったので
質問させていただきました。

丁寧に教えていただき、有難うございました。
また、質問する機会があろうかと思いますので、
これからもご指導よろしくお願いします。

この回答へのお礼

間違った回答のままでは、他の人に見られても恥ずかしい。修正が届いてうれしいです。
御研鑽のご様子を伺いました。Good Luck!

お礼日時：2018/02/23 08:45

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/02/22 16:43

https://goo.e-srvc.com/app/answers/detail/a_id/6 …
ということ?

この回答へのお礼

修正の仕方がわかりました。有難うございます。

お礼日時：2018/02/23 08:47