1/k+1/(k+1)+...+1/(n-1) ～ log(n/k)の近似が分かりません。

https://mathtrain.jp/hisyomondai

上記のサイトに、nが十分大きいとき、

1/k+1/(k+1)+...+1/(n-1) ～ log(n/k)

とありました。

しかし、同サイトに載っている

1+1/2+...1/n ～ log(n)

を使えば、

1/k+1/(k+1)+...+1/(n-1) ～ log{(n-1)/(k-1)}

となるように思うのですが、どのようにしたら、

1/k+1/(k+1)+...+1/(n-1) ～ log(n/k)

となるのでしょうか？
nが十分大きいと、

log{(n-1)/(k-1)} ～ log(n/k)

としてよいからでしょうか？

どのサイトを見ても、log(n/k)となっているので、間違っているのではないと思うのですが、私には理解できません。

教えていただけないでしょうか。

No.3 回答者： usa3usa 回答日時： 2018/03/09 00:50

＞nが十分大きいと、

＞
＞log{(n-1)/(k-1)} ～ log(n/k)
＞
＞としてよいからでしょうか？
その通り、良いからです。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2018/03/08 23:02

log{(n-1)/(k-1)} ～ log(n/k)はたしかになりたちますね。

log{(n-1)/(k-1)}/ log(n/k)＝{log(n-1)－log(k-1)}/ {logｎ－logｋ}で
分母分子をlognで割った時に分拇→1(ｎ→∞)
分子＝1＋log(1－1/ｎ)/logn－log(k-1)}/ logn→1(ｎ→∞)だから
log{(n-1)/(k-1)}/ log(n/k)→1(ｎ→∞)　つまりlog{(n-1)/(k-1)} ～ log(n/k)です。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2018/03/08 22:20

どっちが間違いという訳じゃなく、どっちも近似ですから。

　もし積分をご存知なら
　　log(n/k) = log(n) - log(k) = ∫{x = k〜n} 1/x dx
　　= Σ{j=k〜n-1}∫{x = j〜j+1} 1/x dx
そして
　　1/(j+1) ＜∫{x = j〜j+1} 1/x dx ＜ 1/j
であることがお分かりでしょう。
　なので
　　Σ{j=k〜n-1}(1/(j+1)) ＜ log(n/k) ＜ Σ{j=k〜n-1}(1/j) ＜ log((n-1)/(k-1)) ＜ Σ{j=k〜n-1}(1/(j-1))
つまり
　　1/(k+1)+1/(k+2)+...+1/n ＜log(n/k) ＜ 1/k+1/(k+1)+...+1/(n-1) ＜ log((n-1)/(k-1)) ＜ 1/(k-1)+1/k+...+1/(n-2)
ということなんです。