x²－（k－1）x－k²＝0と x²－2kx＋k＝0 がただ一つの共通解を持つ時 Kの値は小さい順に

x²－（k－1）x－k²＝0と
x²－2kx＋k＝0 がただ一つの共通解を持つ時
Kの値は小さい順に（ア）（イ）である
K＝（ア）のとき共通解 は（エ）
K＝（イ）のとき共通解は（オ）

という問題の（ア）と（イ）を教えてください！

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/16 14:28

x^2 - (k - 1)x - k^2 = 0　　　①

の解を a, b

x^2 - 2kx + k = 0　　　　②
の解を a, c

で、「共通解はただ一つ」なので b≠c としましょう。（a が共通解です）

①は
　(x - a)(x - b) = 0
と書けますから
　(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab
より
　a + b = k - 1　　③
　ab = - k^2　　　④
です。

同様に②は
　(x - a)(x - c) = 0
と書けますから
　(x - a)(x - c) = x^2 - (a + c)x + ac
より
　a + c = 2k　　⑤
　ac = k　　　　⑥
です。

これを解けば
③ - ④より
　b - c = -k - 1
→　c = b + k + 1　　　⑦
⑥に代入して
　ab + ak + a = k
→　ab = -a + (1 - a)k
よって、④に代入して
　-a + (1 - a)k = -k^2
→　a(k + 1) = k(k + 1)

ここで k=-1 とすると⑦より c=b となって前提条件を満たさない。
従って k≠-1 であり
　a = k
③より
　b = -1
⑦より
　c = k

一方、④より
　-k = - k^2
→　k(k - 1) = 0
よって
　k = 0, 1

k=0 のとき
　a=0, b=-1, c=0　←共通解は「0」
k=1 のとき
　a=1, b=-1, c=1　←共通解は「1」

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/04/16 15:58

前提「x²－（k－1）x－k²＝0・・・①

x²－2kx＋k＝0・・・②
①の解をａｂ
②の解をａｃとすると
①は(x-a)(x-b)=0・・・③
②は(x-a)(x-c)=0・・・④
と変形できる
③-④から
(x-a)(x-b)-(x-a)(x-c)=(x-a){(x-b)-(x-c)}=(x-a)(c-b)=0
この式から③-④でできるxの１次式の解は共通解aであると言える。
ちなみにｂｃは異なる値なので(x-a)以外のカッコを0にするような値は不適という事になる」

これを利用して本編
①-②より
kx+x-k²-k=0
(k+1)x-k(k+1)=(k+1)(x-k)=0
k=-1 or x=K
・k=-1の場合（上記から不適になるはずですが確認してみます）
①はx²+2x－1＝0
②もx²+2x－1＝0
となり、共通解が２こになるから不適
・x=kの場合　（上記からｋが唯一の共通解になっているはず）
1 2 のいずれからも
k²－（k－1）k－k²＝0
－k²+k=-k(k-1)＝0
よってk=0or1

K=0のとき
①はx²+x＝x(x+1)=0
②はx²＝0
となり共通解０をもつ

K=1のとき
①はx²-1=(x-1)(x+1)＝0
②はx²－2x＋1＝(x-1)²=0
となり共通解1をもつ

ゆえに
あ０　い１　エ０　お１
このようになりそうです。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2018/04/16 13:43

解を持つことは判別式Ｄ＝（ｋ－１）²＋４ｋ²≧０かつ　Ｄ＝４ｋ²－４ｋ≧０を満たすｋである。

前者は（１－√５）/5≦ｋ≦（１＋√５）/5　後者はｋ≦０、ｋ≧１
よって小さい順にｋ＝０，１

No.1 回答者： windwald 回答日時： 2018/04/16 07:17

最大のヒントです。

a=b、c=dのとき、a-c=b-dが成り立つことを利用し、
2つの方程式をまとめることができます。