dポイントを20倍にするたった2つの方法

x²-(k-1)x-k²=0と
x²-2kx+k=0 がただ一つの共通解を持つ時
Kの値は小さい順に(ア)(イ)である
K=(ア)のとき共通解 は(エ)
K=(イ)のとき共通解は(オ)

という問題の(ア)と(イ)を教えてください!

A 回答 (4件)

x^2 - (k - 1)x - k^2 = 0   ①


の解を a, b

x^2 - 2kx + k = 0    ②
の解を a, c

で、「共通解はただ一つ」なので b≠c としましょう。(a が共通解です)

①は
 (x - a)(x - b) = 0
と書けますから
 (x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab
より
 a + b = k - 1  ③
 ab = - k^2   ④
です。

同様に②は
 (x - a)(x - c) = 0
と書けますから
 (x - a)(x - c) = x^2 - (a + c)x + ac
より
 a + c = 2k  ⑤
 ac = k    ⑥
です。

これを解けば
③ - ④より
 b - c = -k - 1
→ c = b + k + 1   ⑦
⑥に代入して
 ab + ak + a = k
→ ab = -a + (1 - a)k
よって、④に代入して
 -a + (1 - a)k = -k^2
→ a(k + 1) = k(k + 1)

ここで k=-1 とすると⑦より c=b となって前提条件を満たさない。
従って k≠-1 であり
 a = k
③より
 b = -1
⑦より
 c = k

一方、④より
 -k = - k^2
→ k(k - 1) = 0
よって
 k = 0, 1

k=0 のとき
 a=0, b=-1, c=0 ←共通解は「0」
k=1 のとき
 a=1, b=-1, c=1 ←共通解は「1」
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前提「x²-(k-1)x-k²=0・・・①


x²-2kx+k=0・・・②
①の解をab
②の解をacとすると
①は(x-a)(x-b)=0・・・③
②は(x-a)(x-c)=0・・・④
と変形できる
③-④から
(x-a)(x-b)-(x-a)(x-c)=(x-a){(x-b)-(x-c)}=(x-a)(c-b)=0
この式から③-④でできるxの1次式の解は共通解aであると言える。
ちなみにbcは異なる値なので(x-a)以外のカッコを0にするような値は不適という事になる」

これを利用して本編
①-②より
kx+x-k²-k=0
(k+1)x-k(k+1)=(k+1)(x-k)=0
k=-1 or x=K
・k=-1の場合(上記から不適になるはずですが確認してみます)
①はx²+2x-1=0
②もx²+2x-1=0
となり、共通解が2こになるから不適
・x=kの場合 (上記からkが唯一の共通解になっているはず)
1 2 のいずれからも
k²-(k-1)k-k²=0
-k²+k=-k(k-1)=0
よってk=0or1

K=0のとき
①はx²+x=x(x+1)=0
②はx²=0
となり共通解0をもつ

K=1のとき
①はx²-1=(x-1)(x+1)=0
②はx²-2x+1=(x-1)²=0
となり共通解1をもつ

ゆえに
あ0 い1 エ0 お1
このようになりそうです。
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解を持つことは判別式D=(k-1)²+4k²≧0かつ D=4k²-4k≧0を満たすkである。


前者は(1-√5)/5≦k≦(1+√5)/5 後者はk≦0、k≧1
よって小さい順にk=0,1
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最大のヒントです。

a=b、c=dのとき、a-c=b-dが成り立つことを利用し、
2つの方程式をまとめることができます。
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